démonstration en algèbre

[invite371ae0af]

bonjour,
pouvez vous m'aider à comprendre cette démonstration:
F et G 2 sev de E
on suppose E de dimmension dinie n
Les conditions suivantes sont équivalentes;
1)F et G supplémentaire dans E
2)E=F+G et dim E= dimF+DimG
3)si B1 est une base de F et B2 une base de G alors B1 U B2 est une base de E
j'ai un problème avec 3)=>1)
dans mon cours on a juste mis:
B= B1 U B2 est une base de E donc B est génératrice de E d'ou F+G=E
ne faut il pas montrer que l'intersection entre F et G est nul?

merci de votre aide
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[invite9617f995]

De même que E=F+G vient du fait que B est génératrice, le fait que F inter G = {0} nous est donnée par la liberté de B.

En effet, soit B₁=(e₁,...,e_p) et B₂=(e_p+1,...,e_n) deux bases de F et G. Supposons que B=B₁ U B₂ est une base de E donc une famille libre.

Soit x un vecteur de F inter G.
x appartient à F donc il existe λ₁, ..., λ_p des scalaires tels que x=λ₁e₁+...+λ_pe_p.
x appartient à G donc il existe λ_p+1, ..., λ_n des scalaires tels que x=λ_p+1e_p+1+...+λ_ne_n.
On a donc λ₁e₁+...+λ_pe_p-λ_p+1e_p+1-...-λ_ne_n=0.
Or B=(e₁,...,e_n) est libre donc λ₁=...=λ_n=0.
Donc x=0.

On a donc bien F inter G = {0}.