Équivalent de la suite (2n)!

[invite83569f81]

Bonjour,

Dans un exo j'avais besoin d'un équivalent de (2n)!.
J'ai donc écrit la formule de Stirling en remplaçant le "n" par "2n"

D'où (2n)!~(2n)²ⁿe^-2nsqrt(4*pi*n)

ça à l'air d'être juste puisque après avoir testé sur un logiciel, je vois que le quotient tend bien vers 1 quand n est très grand, mais comment ça se prouve ? ça doit être assez évident mais je ne vois pas comment le montrer proprement..

De même, si on voulait un équivalent de la suite des (n²)!, suffirait-il de remplacer les "n" par des "n²" dans l'équivalent donné par la formule de Stirling ?

De manière générale, Y a t-il une règle qui permet "d'appliquer une extractrice" à chaque membre d'un équivalent, et de dire que les suites extraites de chaque membre sont équivalentes ?? Genre comme la suite des (2n)! est extraite de n! via l'extractrice n|-->2n, peut-on dire que de l'équivalent de (2n)! s'obtient par extraction de l'équivalent de n! via la même extractrice ?

Merci de m'éclairer
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[gg0]

Bonjour.

Plus simple :
où S(n) est l'équivalent classique, puisqu'ils sont équivalents. Ou mieux Et on remplace n par 2n. On en déduit immédiatement que (2n)! et S(2n) sont équivalents (le o(1) est pour n tendant vers l'infini, mais quand 2n tend vers l'infini, n tend vers l'infini). Et même .

De même
On peut faire de même pour toute suite qui tend vers l'infini.

Cordialement.

[invite83569f81]

Merci, mais je ne suis pas sûr de bien comprendre. Est-ce que mon raisonnement est bon : (je préfère noter avec une suite epsilon, je trouve ça plus clair que petit o)
On utilise le fait que u_n~v_n ⇔ ∃(ε_n) convergeant vers 0 telle que pour tout n, u_n=v_n(1+ε_n)

Ici, n!~S(n) donc ∃(ε_n) convergeant vers 0 telle que pour tout n, n!=S(n)(1+ε_n)
Or, si pour tout n, n!=S(n)(1+ε_n), alors pour tout n, (2n)!=S(2n)(1+ε_2n).
Or ε_2n converge vers 0 car extraite de ε_n.
Et donc (2n)!~S(2n)

C'est bien ça ?

[gg0]

Oui, c'est ça.

Quand tu auras bien maîtrisé les o et O, tu verras que c'est très pratique (d'autant que ça s'utilise aussi pour les fonctions).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]