Fonction vérifiant f(a+b)=f(a)*f(b)

[invite8f6d0dd4]

Salut

Dans un cours de Physique, on tombe à un moment sur une fonction qui vérifie f(a+b)=f(a)*f(b)

Et là il est dit "donc f est une exponentielle".

Ma question est donc : les exponentielles sont elles vraiment les seules classes de fonctions vérifiant cette propriété ?

Merci.
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[Seirios]

Bonjour,

Déjà, tu peux remarquer que, si , alors pour tout , de sorte que la fonction est soit identiquement nulle soit elle ne s'annule jamais. Comme , dans le deuxième cas elle sera en fait strictement positive. On peut alors poser . L'équation fonctionnelle devient alors , c'est-à-dire que est en fait un morphisme de groupes . Donc la question est de savoir si tous ces morphismes sont nécessairement des applications linéaires.

Si tu suppose continue, alors c'est vrai (c'est un exercice classique). Sinon, ce n'est pas vrai : comme est un -espace vectoriel de dimension infinie, tu peux construire beaucoup d'applications linéaires différentes , qui induiront notamment des morphismes de groupes différents.