Salut à tous ^^
Ca fait quelques temps que je parcours votre forum, très utile en cas de trouble, mais là, j'ai une question sur laquelle je galère vraiment, et impossible de trouve une solution ou même une ébauche de méthode..
Voilà le souçi :
"Déterminer les couples (x,y) appartenant à N* vérifiant l'équation
x²y-xy²=110"
En regardant sur google ça m'a fait penser (vite fait hein) aux équations diophantiennes mais c'est un truc qu'on a pas encore vu en cours :/
Merci !
Déjà écrire ça sous forme d'un produit x y (x-y) = 1*2*5*11
et raisonner un peu.
Qu'est-ce qui est le plus grand ? x ou y ? x ou (x-y) ?
A partir de ça, on voit assez vite comment les 3 termes du produit vont se partager les nombres à droite de l'équation.
Ben déjà vu la première forme x²y-xy², vu que ça doit être égal à 110 c'est strictement positif
donc
x²y-xy² > 0
x²y > xy²
x² > xy
x > y
Bon puisque x > y, x > (x-y)
Donc on peut dire sans doute que x = 11 (arrêtez moi si je me fourvoie ^^)
ça laisse donc trois possibilités pour y...
Bon puisque x=11 ça revient à résoudre 11y (11-y)
121y - 11y² = 110
eq. du second degré donc avec comme racines 10 et 1 !
You have saved my life ! thank you !
C'est pas mal !
Reste aussi à envisager le cas où x=110
ou x=22, ou x=55...Envoyé par Thorin
Aussi...
Hmm mais..
Si x = 110
y (110-y) = 1
110y-y² = 1
-y² +110y - 1 = 0
Les solutions sont pas réelles..
De même pour 55 :
55y (55-y) -110 = 0
-55y² + 3025y - 110 = 0
Et pour 22..
Mais je pense que de toute façon x ne peut pas être supérieur à 11 si on veut des entiers naturels...
En mathématiques, on ne pense pas, on démontre.
Je vais tenter une démonstration par l'absurde alors ^^ ou avec un contre exemple, on verra bien.
Supposons donc x > 11 et y un entier naturel :
{x,y} € N*
On sait que 0 < y < x
Donc 0 < (x-y) < x
Et y(x-y) < xy
De plus, on a :
x²y-xy² = 110
xy(x-y) = 110 = 1*2*5*11
Si x > 11,
0 < y(x-y) < 1*2*5 (=10)
0 < y(x-y) < 10
0 < xy - y² < 10
0 < -y² < 10 - xy
Or un carré est toujours positif donc -y² toujours négatif => donc x ne peut être supérieur à 11
Ca me semble logique mais j'ai quand même l'impression qu'il y a un problème quelque part..
Non !!!
- xy < -y² < 10 - xy
Mince ! je me disais bien que ça avait l'air louche XD
Bon
en repartant du fait que
0 < y(x-y) < 10
et
0 < y < x
0 < y (x-y) < x(x-y) ==> 0 < y (x-y) < x² - xy
ainsi que
0 < (x-y) < x
0 < y (x-y) < xy ==> 0 < -y² + xy < xy
.. je vois vraiment pas comment avancer ><
Bon, on sait déjà que x=11 et y=1 font une solution.
Est-ce que x peut valoir 10 ? Non car alors y ou (x-y) valent 11 ou 1. Impossible.
Est-ce que x peut valoir 22 ou 55 ? Non car alors y ou x-y vaudront 5 ou 2 ou 1 ou 10. Impossible
Ben.. ça je suis tout à fait d'accord mais est-ce que ça prouve bien qu'il n'existe aucun autre couple de solutions entières ?
x divise 110 donc il ne peut être qu'une combinaison des facteurs premiers de 110.
Hmm d'accord tout s'éclaire à la lueur de cette justification ^^
Merci beaucoup !
