Bonjour,
Nous avons vu que, pour être valide, une théorie mathématique "ne doit pas être connue comme inconsistante".
Mais est-ce suffisant ?
Ne doit-elle pas être conforme à tous les principes logiques ?
1) Le principe d'identité
2) Le principe de non-contradiction
3) Le principe du tiers exclu
4) Le principe du syllogisme
Merci.
Avec mes meilleures salutations
Naomi
Il n'y aucune obligation d'ajouter comme axiome de logique le tiers exclu.
Quant au principe de non-contradiction, je ne vois pas comment on peut raisonnablement s'en passer puisqu'on espère une théorie non contradictoire...
message annulé
Dernière modification par leon1789 ; 13/08/2015 à 18h04.
Bonsoir,Envoyé par Naomi-Lyon
Pour être valide une théorie doit être "consistante" (au sens anglais) avec la logique dans laquelle elle s'inscrit (par exemple dans le cadre de la logique intuitionniste, le tiers exclu n'est pas requis) ; quant au principe du syllogisme, je ne vois pas de quoi vous voulez parler (modus ponens ?)?
Pour le principe d'identité, que voulez-vous dire ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour à tous,
- Le principe d'identité affirme qu'une chose est elle-même : A = A.
Sans ce principe élémentaire, nous ne pourrions pas rapporter plusieurs qualités à un même objet.
- Le principe de non-contradiction affirme qu'une proposition ne peut pas être à la fois vraie et fausse.
- Le principe du tiers exclu affirme que de deux propositions contradictoires, l'une est vraie, l'autre est fausse.
Tiers signifie troisième. Ce principe indique qu'il n'y a pas de troisième point de vue possible, tel, par exemple, que
"ces deux propositions sont vraies simultanément" car nous nous heurterions alors au principe de non-contradiction.
- Le principe du syllogisme affirme que si A implique B, et si B implique C, alors A implique C.
Très cordialement
Naomi
Bonjour,
Ceci est insuffisant pour définir l'égalité (d'où ma question)
Ce n'est donc pas le modus ponens, mais la transitivité de l'implication, c'est une tautologie de la logique des propositions- Le principe du syllogisme affirme que si A implique B, et si B implique C, alors A implique C.
Tous ces principes concernent la logique utilisée, et non une théorie qui doit être en accord avec la logique utilisée (on peut très bien définir une arithmétique "à la Peano" sans tiers exclu, c'est à dire en logique intuitionniste (arithmétique de Heyting))
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour Médiat,
Merci d'avoir répondu à ma question mais je dois vous avouer que je ne comprends pas bien votre réponse.
- Que voulez-vous dire quand vous écrivez : " Ceci est insuffisant pour définir l'égalité (d'où ma question )" ?
- Vous avez écrit : "Tous ces principes concernent la logique utilisée, et non une théorie qui doit être en accord avec la logique utilisée (on peut très bien définir une arithmétique "à la Peano" sans tiers exclu, c'est à dire en logique intuitionniste (arithmétique de Heyting))"
Tous ces principes concernent la logique utilisée par la théorie ?
"Et non une théorie qui doit être en accord avec la logique utilisée" par la théorie ? : je ne comprends pas le sens de cette phrase, pouvez-vous l'expliciter s'il vous plait ?
- Enfin, quand vous aviez écrit au début de ce débat ne pas être connue comme incohérente (cf. Arithmétique de Peano ou théorie des ensembles ZF(C)), vouliez-vous dire que l'arithmétique de Peano ou la théorie des ensembles ZF(C) furent appréhendées comme cohérentes puis un mathématicien a découvert une faille qui a été corrigée ou qui n'est pas décidable ?
Merci.
Avec mes salutations les meilleures,
Naomi
Je me permets de répondre à la place de Médiat, mais ma réponse n'engage bien entendu que moi ...
Pour l'arithmétique de Péano, non ! Mais pour la théorie des ensemble, l'histoire est plus compliquée:
La théorie des ensemble est issue de la théorie de Cantor qui recelait quelques auto-contradictions, Cantor en avait observé quelques unes mais n'y avait pas attaché trop d'importance. Bertrand Russel mit en évidence le fait que cela était rédhibitoire et, comme David Hilbert, il estimait qu'il fallait établir une théorie qui permettrait de sauver la plupart des résultats de Cantor sans contenir de contradictions ... Ce n'est finalement pas la théorie de Russel qui a été retenue mais celle de Zermelo et Fraenkel qui a été adoptée par les mathématiciens.
Comme autre théorie inconsistante, on peut citer la logique de Frege, dont Russel avait montré par la même occasion l'inconsistance, mais qui, une fois débarrassée de quelques principes malvenus, est la base de la logique qu'utilisent aujourd'hui les mathématiciens.
Une question plus délicate à régler a été celle des infinitésimaux de Leibnitz; là il a fallu plusieur siècles pour que l'analyse non-standard donne enfin une théorie permettant de les utiliser en toute rigueur.
On notera que prouver la consistance d'une théorie contenant l'arithmétique est impossible dans l'absolu.
La consistance est donc au mieux indécidable et au pire fausse.
J'ajouterai que tout cela est un peu de l'histoir ancienne, datant de l'époque de "la crise des fondements des mathématiques".
De nos jours, la plupart des mathématiciens qui construisent des théories le font dans le cadre de la théorie des ensembles, et se contentent d'en construire un modèle dans le cdre de la théorie ZF.
La théorie de Lobatchevski, ainsi, n'a vraiment convaincu que quand Poincaré et d'autre en ont conçu des modèles dans un cadre classique.
Certains mathématicien intéressent à la représentation des théories dans l'arithmétique.
Ainsi, représenter la théorie de Turing dans l'arithmétique a permis de répondre par la négative au 10ème problème de Hilbert.
Bonsoir Naomi, (j'espère mériter un jésus
Il ne suffit pas de dire A=A pour que "=" soit l'égalité telle qu'on la veut, sinon toutes les relations réflexives seraient l'égalité.
Oui, ce sont des principes qui s'appliquent à la logique, pas aux théoriesTous ces principes concernent la logique utilisée par la théorie ?
Une théorie que l'on écrit dans la logique classique doit être consistante, pour cette logique, une théorie pour la logique floue doit être consistante pour cette logique."Et non une théorie qui doit être en accord avec la logique utilisée" par la théorie ? : je ne comprends pas le sens de cette phrase, pouvez-vous l'expliciter s'il vous plait ?
Pour l'histoire, Schrodies-cat a répondu, pour aujourd'hui, on ne sait pas si ZF est consistante ou non, ce que l'on sait, c'est que si ZF est consistante, alors ZF + tel ou tel axiome l'est aussi.- Enfin, quand vous aviez écrit au début de ce débat ne pas être connue comme incohérente (cf. Arithmétique de Peano ou théorie des ensembles ZF(C)), vouliez-vous dire que l'arithmétique de Peano ou la théorie des ensembles ZF(C) furent appréhendées comme cohérentes puis un mathématicien a découvert une faille qui a été corrigée ou qui n'est pas décidable ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Re : Qu'est-ce qu'une théorie mathématique valide ?
Bonjour à tous,
Merci beaucoup Médiat et Schrodies-cat.
Vos réponses sont claires et complètes.
Remarque : Médiat, puisque l'arithmétique de Peano n'a jamais posé de problèmes aux mathématiciens, à quoi faisiez-vous allusion quand vous avez cité la théorie de Peano dans cette phrase : "ne pas être connue comme incohérente (cf. Arithmétique de Peano ou théorie des ensembles ZF(C))" ?
Merci.
Naomi
Pour Peano, on ne sait pas si cette théorie est cohérente ou non (elle n'est pas connue comme incohérente, et pour l'instant cela suffit ...)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci Médiat, j'ai appris beaucoup de choses intéressantes sur les mathématiques grâce à vous et aux autres intervenants.
Ce forum est fantastique...
Je n'aurai pas la prétention d'avoir fait des réponses complètes (Kurt Gödel a de toute façon prouvé que c'était impossible).Bonjour à tous,
Merci beaucoup Médiat et Schrodies-cat.
Vos réponses sont claires et complètes.
Remarque : Médiat, puisque l'arithmétique de Peano n'a jamais posé de problèmes aux mathématiciens, à quoi faisiez-vous allusion quand vous avez cité la théorie de Peano dans cette phrase : "ne pas être connue comme incohérente (cf. Arithmétique de Peano ou théorie des ensembles ZF(C))" ?
Merci.
Naomi
Pour ce qui est de prouver la consistance de l'arithmétique, en fait, oui, mais non ! comme disait Coluche.
Il est aisé de prouver que l'arithmétique est consistante dans la théorie ZF, puisque l'ensemble des entiers naturels, muni de ses opérations habituelles en constitue un modèle.
Bien sur, il y a une arnaque: il peut être possible de prouver la consistance d'une théorie dans une théorie plus puissante, mais la consistance de celle-ci est encore plus hypothétique.
De fait, si la théorie ZF était inconsistante, ce qu'on ne sait pas dans l'absolu, il serait possible d'y prouver tout et son contraire, y compris la consistance de l'arithmétique de Péano, même si cela (imaginons le pire) n'était pas vrai.
Quel est finalement le statut épistémologique d'affirmations du type: "l'arithmétique de Péano est consistante" ou "ZF est consistante".
Pour me placer dans un cadre inspiré par Popper, je dirai que ces affirmations sont potentiellement réfutables.
Si elle ne sont pas vraies, il y a un moyen de le prouver en trouvant une démonstration de l'absurde dans l'une ou l'autre de ces théories.
Bien sur , seuls quelques monomaniaques des mathématiques cherchent à tout prix à trouver de telles contradictions, mais il se pourrait qu'on trouve accidentellement dans ces théories des théorèmes incompatibles, ce qui serait la preuve d'une contradiction.
En fait, d'après ce que j'ai lu, il y aurait en mathématiques quelques théorèmes qui posent des problèmes d'incompatibilité, mais il s'agit de théorèmes à la démonstration complexe, et la plupart des mathématiciens supposent qu'il y a une erreur dans la démonstration de l'un ou de l'autre plutôt que remettre en cause leurs théories favorites.
Il faut noter que l'histoire des mathématiques regorge de démonstrations erronées, qui furent parfois le fait de grands mathématiciens.
Bonjour,
Vous avez des références ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour Schrodies-cat,
Merci pour votre réponse.
"En fait, d'après ce que j'ai lu, il y aurait en mathématiques quelques théorèmes qui posent des problèmes d'incompatibilité, mais il s'agit de théorèmes à la démonstration complexe, et la plupart des mathématiciens supposent qu'il y a une erreur dans la démonstration de l'un ou de l'autre plutôt que remettre en cause leurs théories favorites".
Si deux théorèmes sont incompatibles, alors au moins un de ces théorèmes est faux.
Donc, si je vous comprends bien, vous dites que les mathématiciens qui sont confrontés à un problème du type "le théorème T1 est incompatible avec le théorème T2" supposent que les théorèmes qu'ils utilisent dans leurs théories sont vrais. Donc ils supposent que l'incompatibilité sus-mentionnée vient d'une erreur dans la démonstration d'un théorème qu'ils n'utilisent pas dans leurs théories.
Avec mes meilleures salutations,
Naomi
"si on démontre que Peano est incohérente"
Me semble que "une théorie récursivement axiomatisable qui contient les axiome de Peano et qui est cohérente de démontre pas sa propre cohérence"
Donc on est mal barré :hap:
