Un ensemble complexe pour un nombre premier dont l harmonie reste inconnu

[inviteded0667c]

Bonsoir,
Je me questionne quant à l analyse sur la complétion de la clôture algébrique de Qp (le corps des nombres p adique), algebriqument close, et isomorphe, supposé l axiome du choix, à C. L analyse quant aux fonctions L qu il est tendance de dire qu elle contienne toutes les informations et nous n avons qu à les faire parler me suggère de me qestionner quant à ces corps. On est à fond dans C avec le théorème des résidus, y a t il un équivalent connu sur ce corps ? Ou l espoir d en avoir un ?
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[Médiat]

Bonjour,

Pourriez-vous préciser à quel endroit de la démonstration, on fait intervenir l'axiome du choix ? Ce théorème est une conséquence du théorème de Frobenius (1877) et je doute qu'il ait utilisé AC.

Si j'ai bien compris la deuxième partie de votre texte, vous vous demandez si deux corps isomorphes vérifient les mêmes théorèmes ...

[invitea349824a]

Pour répondre à la question concernant le théorème des résidus : oui, il existe (au moins) une version du théorème des résidus pour le corps (la completion de la clôture algébrique de . Cela utilise les intégrales de Schnirelman (*). Mais ce n'est pas vraiment standard et je n'ai pas l'impression que ce soit couramment utilisé.

Quand à la remarque de Média sur le théorème de Frobénius, elle m'interroge. La preuve que je connais qui donne l'isomorphisme entre et passe par l'existence de bases de transcendance de (et ) sur (et donc nécessite l'axiome du choix (?)). Est-ce la même preuve dont tu fais mention?






(*) je peux donner la seule référence que je connais où il en est fait mention : W. Adams, Transcendental Numbers in $p$-adic Domain, American Journal of Mathematics, Vol. 88, No. 2 (Apr., 1966), pp. 279-308

[Médiat]

La méthode moderne pour démontrer que C est le seul corps algébriquement clos de cardinal doit effectivement passer par les bases de transcendance et donc par l'axiome du choix, mais je faisais allusion au théorème de Frobenius qui date de 1877 : Les seules algèbres associatives à division de dimension finie sur le corps des réels sont R, C et H.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea349824a]

Ok, mais je ne vois pas en quoi cela implique l'isomorphisme entre et .
Ce n'est pas évident pour moi que est une -algèbre.

Je vois éventuellement une preuve que c'est bien le cas mais pas sans l'axiome du choix pour déterminer une clôture réelle de dans (il est même possible que je dise des bêtises, il faudrait que j'y réfléchisse un peu plus).
En tout cas, sans axiome du choix, je ne vois pas pour l'instant.

[Médiat]

Ce n'est pas évident pour moi que est une -algèbre.

Je reconnais qu'il est tout à fait possible que AC se cache là-dessous ...

[inviteded0667c]

Tkt mes sources c est des pro avec leurs potos, ac est nécessaire. Après qq recherches sur ces dites intégrales j ai pas grd chose mais je vais sortir la pelle ces prochaines annees, cimer!

[inviteded0667c]

Enfin le côté simplé de l ultramétrique m en décourage mais faut se méfier quand même là