Bonjour,
J'énonce ici la définition que j'ai d'une fonction lipschitzienne
f est dite lipschitzienne si, pour tout x
Je ne comprend pas la notion de fonction lipschitzienne.
A quoi me sert cet outil ? Dans quel cas l'utiliser ? Comment le visualiser graphiquement ? Ou comment avoir l'idée bien en tête ?
Bonjour.
Tu as défini une fonction contractante (0<k<1), il n'y a pas de condition k<1 pour une fonction lipschitzienne.
Voir par exemple ceci ou cela.
C'est une notion forte, pour des fonctions continues qui n'évoluent "jamais trop vite".
"Dans quel cas l'utiliser ?" Quand c'est nécessaire ou utile.
"Comment le visualiser graphiquement ?" fais un dessin de la courbe de f au voisinage de (x,f(x)) avec par exemple k=2.
"Ou comment avoir l'idée bien en tête ? " en ayant fait le temps de réflexion nécessaire.
Cordialement.
Nb : Il faut éviter de résister à une notion nouvelle, accepter de prendre le temps de se familiariser avec elle.
Bonjour,
Si je comprends bien, cela veut dire qu'il existe un K qui majore les variations de f par rapport à celles x.
A plus.
Oui.
Si tu connais bien les définitions, tu peux comparer à la continuité et à la continuité uniforme, notions proches, mais moins fortes.
Bonjour,
Effectivement, on voit qu'il y a un lien direct entre le caractère borné du taux d'accroissement et le caractère lipschitzien d'une fonction. Par contre, je parle de taux d'accroissement mais attention à ne pas faire d'analogie avec la dérivée (comme gg0 l'a dit ça se rapprocherait plutôt de la continuité et de la continuité uniforme). L'exemple classique est bien sûr la fonction valeur absolue.
A quoi me sert cet outil ? Dans quel cas l'utiliser ? Comment le visualiser graphiquement ? Ou comment avoir l'idée bien en tête ?
C'est quand même un outil pratique en analyse. Le théorème du point fixe est un exemple connu de théorème faisant appel aux fonctions contractantes. Dans les espaces métriques, on parlera du théorème de Cauchy-Lipschitz.
