Bonjour,
J'ai fais un exercice dont je n'ai pas la correction, voici l'énoncé : (N'importe quelle remarque est la bienvenue que ce soit sur de l'imprécision ou sur un moyen plus rapide de faire)
Soit f la fonction définie par
1. Déterminer le domaine de définitionde
.
•
2. Montrer que f est dérivable sur, et calculer
pour tout
.
• f est continue suret dérivable sur
• Dérivons:
3. (a) Montrer que, pour tout, on a :
• Pour tout,
(b) f est-elle dérivable en 1 ?
• En étudiant les limites en 1 deje trouve : par valeurs supérieur à 1, donne l'infini et par valeurs inférieur à 1 n'est pas défini.
Non, f n'est pas dérivable en 1.
(c) Comment interpréter ce résultat graphiquement ?
• Au point d'abscisse 1,admet deux tangentes différentes. Je ne suis pas sûr. Et est-ce cela qui est demandé ?
4. Préciser les variations de f, et ses limites éventuelles aux bornes de l'intervalle
•;
•alors f est strictement croissante sur
5. Dessiner l'allure de la courbe représentative.
• Je place le point (1,0), et je fais croitre la fonction avec la même allure que celle de la courbe représentative deY a-t-il un moyen plus précis ? Ou puis-je mieux voir l'allure de
par n'importe quel autre moyen ?
6. Montrer que f établit une bijection de Df sur un intervalle J que l'on déterminera
• f est strictement croissante surdonc f réalise une bijection de
dans
soit
7. On note g la réciproque de f, c'est-à-dire.
(a) Sans chercher à expliciter g, étudier ses variations, sa continuité et sa dérivabilité.
• f est strictement croissante sur
f est continue de
f est dérivable de
• Donc :
g est strictement croissante sur
g est continue de
g est dérivable de
(b) Calculer g(2) et g'(2) (toujours sans expliciter g).
• J'ai pensé à :revient à calculer
mais ici j'explicite g Comment faire autrement ?
• De même pour: J'ai pensé à calculer
(c) Etant donné un réel y positif, résoudre l'équation, et en déduire l'expression de g(x), pour tout
• Pour tout,
,
(d) Retrouver les résultats des questions 7 (a) et (b). Que peut-on dire de la dérivabilité de g en 0 ?
•d'où g est strictement croissante sur
• g est continue suret dérivable sur
•
•
•et
la limite est infinie donc g n'est pas dérivable en 0.
Enjoy
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