Analyse sqrt(x^3-1)

[invite0e29aa7d]

Bonjour,

J'ai fais un exercice dont je n'ai pas la correction, voici l'énoncé : (N'importe quelle remarque est la bienvenue que ce soit sur de l'imprécision ou sur un moyen plus rapide de faire)

Soit f la fonction définie par

1. Déterminer le domaine de définition de .
•

2. Montrer que f est dérivable sur , et calculer pour tout .
• f est continue sur et dérivable sur
• Dérivons :


3. (a) Montrer que, pour tout , on a :
• Pour tout ,

(b) f est-elle dérivable en 1 ?
• En étudiant les limites en 1 de je trouve : par valeurs supérieur à 1, donne l'infini et par valeurs inférieur à 1 n'est pas défini.
Non, f n'est pas dérivable en 1.

(c) Comment interpréter ce résultat graphiquement ?
• Au point d'abscisse 1, admet deux tangentes différentes. Je ne suis pas sûr. Et est-ce cela qui est demandé ?

4. Préciser les variations de f, et ses limites éventuelles aux bornes de l'intervalle
• ;
• alors f est strictement croissante sur

5. Dessiner l'allure de la courbe représentative.
• Je place le point (1,0), et je fais croitre la fonction avec la même allure que celle de la courbe représentative de Y a-t-il un moyen plus précis ? Ou puis-je mieux voir l'allure de par n'importe quel autre moyen ?

6. Montrer que f établit une bijection de Df sur un intervalle J que l'on déterminera
• f est strictement croissante sur donc f réalise une bijection de dans soit

7. On note g la réciproque de f, c'est-à-dire .
(a) Sans chercher à expliciter g, étudier ses variations, sa continuité et sa dérivabilité.
• f est strictement croissante sur
f est continue de
f est dérivable de
• Donc :
g est strictement croissante sur
g est continue de
g est dérivable de

(b) Calculer g(2) et g'(2) (toujours sans expliciter g).
• J'ai pensé à : revient à calculer mais ici j'explicite g Comment faire autrement ?
• De même pour : J'ai pensé à calculer

(c) Etant donné un réel y positif, résoudre l'équation , et en déduire l'expression de g(x), pour tout
• Pour tout , ,

(d) Retrouver les résultats des questions 7 (a) et (b). Que peut-on dire de la dérivabilité de g en 0 ?
• d'où g est strictement croissante sur
• g est continue sur et dérivable sur
•
•
• et la limite est infinie donc g n'est pas dérivable en 0.

Enjoy

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[inviteb3412e7c]

L'exercice est correctement exécuté. Les calculs de dérivées sont bons. Tu as bien compris la notion de fonction réciproque. Par contre il faut faire attention à la notion de tangente, et n'oublie pas de visualiser tes fonctions sur une calculatrice ou sur l'ordinateur avant de l'étudier, ça permet de se donner une idée de ce que l'on doit démontrer. Ci-après tu trouveras des commentaires spécifiques.

3)c) Je ne comprends pas pourquoi tu parles de deux tangentes en . Ta courbe admet un taux d'accroissement infini en par valeur supérieure, cela veut donc dire qu'il y a une asymptote ...

5) L'allure de la courbe démarre un peu comme mais s'accroit comme , regarde avec une calculatrice ou GeoGebra pour t'en rendre compte. Pour ce qui est de la représentation d'une courbe d'une fonction, la meilleure manière de faire est de faire un tableau de valeurs quand on a pas assez d'informations avec le tableau de variation.

7)b) Oui c'est la bonne idée. Car comme si on résous on obtient . Pour calculer il faut utiliser la formule de la dérivée de la fonction réciproque qui est .

7)d) Tu n'as pas mis les calculs de la limite du taux d'accroissement de ta fonction en , mais regarde sur ta calculatrice ou sur GeoGebra et tu verras que ta fonction semble dérivable en de dérivée .

[gg0]

En 1, la seule limite qui a un sens est "par valeurs supérieures" (on ne peut pas calculer f(x) pour x <1). Cette limite étant infinie, il y a une "demi-tangente" verticale.

Cordialement.

[invite60e2cfc4]

Pour la question 2, tu n'as pas montré que f est dérivable sur ]1, +inf[
Pour traité cette question, tu peux utiliser le théorème de dérivation d'une fonction composée.

[A voir en vidéo sur Futura]