Montrer que sin(x) x (4cos²x - 2cosx -1) = 0

[invitef2437d4f]

Bonjour à tous,

Je suis actuellement en 1ère année de PCSI, j'ai à faire un exercice en maths qui consiste à trouver une valeur exacte de cos(pi/5).

On me demande premièrement de calculer sin(3x) en fonction de sin(exposant cube)x et de sinx, ce à quoi je trouve grâce aux formules d'addition : 3sinx - 4sin(exposant cube)x. Ensuite, je dois trouver les solutions de l'équation sin3x = sin2x ou je trouve x = 2kpi ou x = pi/5 + 2kpi.

La ou je bloque est quand on me demande de montrer que sin(x) x (4cos²x - 2cosx - 1) = 0. J'ai essayé de résoudre l'équation mais ce n'est surement pas ça qu'on me demande...

Pourriez vous ainsi m'aider ?
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[andre_teprom]

sin(x) . (4cos²x - 2cosx -1) = 0

sin(x) . (4(1-sin²x) - 2cosx -1) = 0

[andre_teprom]

pardon, le message précédent a été publié alors que eté en édition.
Modérateurs, s'il vous plaît retirer

[Resartus]

Pour arriver à cette équation, il faut convertir sin2x et sin3x en des fonctions en cosx et sinx. Vous avez déjà sin3x, mais il faut remplacer le sin2 par du cos2

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef2437d4f]

Merci pour votre réponse.

Je ne comprends pas exactement ce que je dois faire ? Dans l'équation sin(x) . (4cos²x-2cosx-1) = 0 il n'y a pas de sin2x ou sin3x ? Quelle démarche faut-il faire pour montrer que ce produit vaut 0 ? La résoudre ?

[gg0]

Bonjour.

Cos(Pi/5) est une des solutions de l'équation sin(2x)=sin(3x), équation que tu peux transformer.
Je soupçonne que ton énoncé n'est pas vraiment ce que tu en as écrit ici.

Cordialement.

Pour x=Pi/5, le fait que cos(2x)=cos(3x) est évident sur le cercle trigo.

[Dynamix]

Salut

La ou je bloque est quand on me demande de montrer que sin(x) * (4cos²x - 2cosx - 1) = 0

Noyé dans un verre d' eau ?

A quelle condition un produit est nul ?

[invitef2437d4f]

Bonjour à vous,

Merci pour vos réponses !

gg0, mon énoncé me demande précisement de montrer grâce au calcul de sin(3x) soit 3sinx - 4sin(exposant cube)x que l'équation sin(x) x (4cos²x - 2cosx-1) est = 0.

Dynamix, oui effectivement un produit est nul si l'un des de ces facteurs est nul. Soit résoudre sin(x) = 0 ou 4cos²x - 2cosx - 1 =0. C'est donc cela qu'il faut faire ? Car j'ai trouvé les solutions de sin(x) = 0 biensûr mais pour le second facteur c'est autre chose... Je ne sais que résoudre une équation du type acosx + bsinx = c or il y a un ² sur cosx...

[Dynamix]

Tu ne trouves pas que ça ressemble bougrement à une équation de second degré ?

[invitef2437d4f]

Oh mais oui biensûr ! Merci pour la remarque ! Le discriminant est strictement positif, je travaille donc avec de solutions x1 et x2 respectivement égale à (2+Racine²20)/8 et (2-Racine²20)/8, de plus les solutions de sinx = 0 sont le système x= 0 + 2kpi ou x = pi + 2kpi.
Je sais aussi que sin(3x) = sin(2x) est équivalente à l'équation sin(x) x (4cos²x - 2cosx-1) = 0. Cependant, je ne comprends toujours pas comment déduire la valeur exacte de cos(pi/5)

[gg0]

Bonjour à vous,

Merci pour vos réponses !

gg0, mon énoncé me demande précisément de montrer grâce au calcul de sin(3x) soit 3sinx - 4sin(exposant cube)x que l'équation sin(x) x (4cos²x - 2cosx-1) est = 0.

1) Sans l'énoncé complet, je conserve mes réserves
2) que tu écrives "l'équation sin(x) x (4cos²x - 2cosx-1) " montre bien que tu ne maîtrises pas le vocabulaire mathématique (une équation est une égalité, comportant une ou des inconnues). Ce qui me confirme dans mon opinion.
3) Tu es en train de résoudre l'équation (cette fois-ci c'en est une) sin(x) x (4cos²x - 2cosx-1) = 0, alors qu'il semblerait que ce qu'on te demande est de prouver qu'elle a un rapport avec la question de base.

Mais vu comment tu as réagi, je te laisse faire ce que tu veux...

[invitef2437d4f]

Merci pour la réponse.

Effectivement, j'ai omis de préciser l'égalité...
Il est vrai que mon énoncé me demande de prouver l'équivalence entre sin3x = sin2x et sin(x) x (4cos²x - 2cosx-1) = 0, chose que j'ai pu montré aisément en y réfléchissant à deux fois.

Si je reviens au but primordial de l'exercice (trouver une valeur exacte de cos(pi/5)), la dernière question qui demande de déduire des questions précédentes cette valeur. Ainsi, je sais donc que sin3x = sin2x et sin(x) x (4cos²x - 2cosx-1) = 0 sont équivalents. J'ai résolu ces deux équations. Les solutions de cette première sont donc le système : x = 2kpi ou x = pi/5+ (2kpi)/5. Les solutions pour cette dernière sont le système : x = 2kpi ou x = pi + 2kpi pour sinx = 0 ou les deux solutions que j'ai nommé x1 et x2, à savoir x1 = (2+√20)/8 et x2 = (2- √20)/8. Je dois avouer que je suis perdu au niveau de la déduction de cette valeur exacte de cos(pi/5)...

[Resartus]

Tu sais que pi/5 est l'une des solutions de sinx.(4cos^2X-2cosx-1)=0. Tu connais les valeurs possibles pour ce cosinus : 1 ou -1 (cas où sinus vaut 0), x1, X2
Laquelle est celle qui peut valoir cos(pi/5)? indice : cos(pi/5) doit être positif...
Au passage, cela donne aussi la solution -pi/5 puisque le cosinus est une fonction paire.
Idem pour la deuxième racine qui correspond à 2pi/5 et -2Pi/5.
Quant à sinx=0, cela correspond à la 5ème racine possible (k=0 ou 5)