Résoudre ln(x)/x=lnpi/pi

[invite908578bd]

Bonjour
Je ne sais pas quelle astuce utiliser pour résoudre cette equation.
Elle correspond au developpement de l'équation : x^=.
Graphiquement il y a deux solutions (dont une étant évidemment x=).
Merci.
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[gg0]

Bonjour.

Tu peux étudier la fonction x-->ln(x)/x-ln(pi)/pi.

Cordialement.

[Resartus]

Etes-vous sûr qu'on vous demande d'exprimer cette racine algébriquement?
Il ne me semble pas que ce soit faisable par des fonctions élémentaires, même quand on connait déjà pi comme première racine.

[leon1789]

Je pense qu'on peut dire que Pi est une solution... sans faire beaucoup d'algèbre.
Est-ce la seule ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Salut :

Sauf erreur de ma part, si on veut montrer que est solution à l'équation, il suffit de montrer, par le théorème des valeurs intermédiaires, que la fonction coupe l'axe des abscisses en un seul point, mais je ne sais pas encore si cela est vrai ou non.

[azizovsky]

Bonjour, il y'a ceci .

[azizovsky]

ou bien mieux, il y'a ça
https://fr.wikipedia.org/wiki/Logari...C3.89quivalent

[Resartus]

Suis-le le seul à lire la question entièrement? Je la comprends comme : sachant que pi est une des solutions, comment calculer l'autre.
Elle vaut approximativement 2,38219269147154.
On doit pouvoir l'exprimer avec la fonction de Lambert, mais je pense que ce n'est pas possible par des fonctions élémentaires.

[gg0]

Désolé, Resartus,

mais je n'ai pas compris que l'énoncé était ce que tu dis. Comme il n'est pas donné ...

Cordialement.

[invite908578bd]

Excuse moi gg0, je n'ai peut être pas assez développé.
Je dois resoudre l'équation x^(pi)=pi^x.
En utilisant la fonction f(x)= x^pi - pi^x, la courbe coupe les abscisses pour x=pi (ce qui est évident) et pour x= 2,382 et des poussières.
En utilisant le ln, on tombe sur l'équilibre de l'énoncé.
Mais comment trouver x=2,382 par le calcul ?
Je vais regarder le lien d'azizovsky.
Merci

[gg0]

comment trouver x=2,382 par le calcul ?

Comme c'est une approximation, par toute méthode d'approximation des racines d'une équation (dichotomie, tracé graphique justifié, Newton-Raphson, ...)

[leon1789]

Salut :

Sauf erreur de ma part, si on veut montrer que est solution à l'équation, il suffit de montrer, par le théorème des valeurs intermédiaires, que la fonction coupe l'axe des abscisses en un seul point, mais je ne sais pas encore si cela est vrai ou non.

hein ????
Si on veut montrer que Pi est solution, il suffit de remplacer x par Pi et constater qu'on a bien l'égalité ln(Pi)/Pi = ln(Pi)/Pi , ce qui est une évidence !

[invitecbade190]

Oui, mais nous cherchons à savoir si cette solution est unique ou non. Si c'est une solution unique, par le TVI, on constate que est l'unique solution de cette équation.

[gg0]

Il y a 2 solutions !!!

Regarde ce qui se passe (niveau lycée) avant de raconter n'importe quoi. Ou au moins, lis les messages !!!