Bonjour, je me retrouve bloqué sur un exercice d'algèbre, à la question suivante :
Soit Z une racine 7-ième de l'unité, différente de 1.
Montrer que Z est racine d'un polynôme unitaire de degré 6, à coefficients dans Q.
J'ai pensé à montrer que [Q(L):Q]=6, mais je n'ai aucune idée de comment je peux m'en sortir..
Merci d'avance
Si on appelle z x, cela sera peut-être plus facile?
Vous savez que x^7-1=0, et vous connaissez déjà la racine x-1=0. Quel est le polynôme pour les 6 autres racines?
Je dois trouver un polynôme à coefficients rationnels annulé par les 6 autres racines (un polynôme par racine) ?
J'admet que je n'étais pas partis dans cette direction, je cherchai une solution peut-être plus 'théorique' (en utilisant les degrés d'extentions de corps..), sans savoir si cela me menerait quelque part...
Non, pas un polynome PAR racine (sinon chacun serait de degré 1), mais le polynome de degré 6 restant une fois divisé par x-1, qui a donc pour racines les 6 autres.
La, je vous ai vraiment tout dit...
Dernière modification par Resartus ; 19/09/2015 à 18h07.
Je pense avoir compris, mon polynôme de degré 6 est donc X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 si je ne me trompe pas
La question était triviale en fait, je m'en excuse... Me voila donc engagé dans la suite de mon exercice, bien plus intéressante
