Démontrer si n entier natuel, alors n^3 - n est pair ? (disjonction des cas)

[invitef2437d4f]

Bonjour,

Comment montrer que si n est un entier naturel alors n³ - n est pair par disjonction des cas ?
Secondement, comment montre t-on qu'un carré d'un entier naturel n ne se termine jamais par 3 ?

Merci d'avance.
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[invite6ab7b7b1]

Bonjour,
Premierement, que peut tu dire de n^3-n si n est pair ? (indice : si n est pair, on peut écrire n=2p avec p entier)
De même, que dire de n^3-n si n est impair ?

Pour ta question suivante, je pense qu'on peut remarquer qu'un entier s'écrit sous la forme n=10k+x, avec x entier entre 0 et 9, k entier. Dès lors je t'invite à montrer que n² et x² ont le même chiffre des unités, et a en tirer une conclusion.

Pixin.

[PlaneteF]

Bonjour,

Autre façon de raisonner : Factoriser et la démonstration devient évidente.

Cordialement

[leon1789]

En effet, avec la factorisation, on voit à la fois que n^3-n est multiple de 2, mais aussi multiple de 3, donc multiple de 6. Et on ne peut pas faire mieux puisque n^3-n vaut exactement 6 pour n=2.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef2437d4f]

Bonjour à tous,

Merci pour vos réponses d'une grande aide. Effectivement, un autre moyen de raisonner aurait pu être de factoriser n^3 - n. Cependant, il fallait que je raisonne ici par disjonction des cas. Ce que j'ai pu faire grâce à vous, j'ai donc montré que n³ - n est pair lorsque n est pair et n est impair.

Pour ma seconde question, j'ai également pu la résoudre grâce à vous. En effet, un entier s'écrit toujours sous la forme n = 10k+x avec x entier comprit entre 0 et 9, k entier. Ainsi, n² = (10k + x)², soit 100k² + 20kx + x². Or 100k² + 20kx se termine toujours par 0, il n'a donc aucune influence sur le chiffre des unités de (10k + x)². Donc, (10k + x)² a le même chiffre des unités que x². Etant donné que x est comprit entre 0 et 9 alors x² prend les valeurs 0,1,4,5,6,9 et jamais 2,3,7,8. Ce qu'il fallait donc montré.

Merci à tous pour votre aide.

A bientôt.
Romain