Non-unicité de la démonstration?

[invite0b5bb75e]

Bonjour,

Voici une question que je me pose depuis longtemps:
- On a parfois plusieurs démonstrations possibles pour une même propriété (on peut penser à Cayley-Hamilton comme exemple extrême). Parfois, il n'y en a qu'une (je pense à l’extrême au dernier théorème de Fermat: j'imagine que Wiles n'a trouvé qu'une piste de résolution!).
=> Sait-on si, pour chaque propriété "suffisamment élaborée", c'est à dire suffisamment loin des axiomes de base, il n'existe pas forcément plusieurs démonstrations possibles? (on pourrait mettre en question intermédiaire: pourquoi Cayley-Hamilton a autant de démonstrations possibles?)

- Ma réflexion vient aussi du fait que l'analyse peut être un outil pour l'algèbre. Par exemple, on considère les groupes comme des groupes topologiques, et par exemple on regarde la topologie des orbites sous une action de groupe et ça permet d'accéder joliment à des propriétés algébriques. Mais alors, les propriétés algébriques sont-elles toutes démontrables avec cet outil "analyse"?

Voilà c'est un peu philosophique mais peut être des experts auront ici une voie de réponse...
J'espère que ma question a un sens, je n'en suis pas certain en réalité (ça me fait vaguement penser au problème P-NP).
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[Resartus]

Sans rentrer dans le débat toujours animé sur savoir si les mathématiques sont créées ou découvertes, que je laisse aux experts,
ma vision des choses est celle d'un territoire qu se peuple de plus en plus. Les zones les plus proches du centre sont les plus circulées et finissent par avoir de nombreux chemins pour aller au même endroit, mais certains raccourcis sont pentus, et demandent des compétences plus fortes pour les utiliser.
Certains nouveaux domaines comme les catégories ou la géométrie algébrique seraient un peu comme un plateau difficile d'accès mais qui, une fois sur place, mènent facilement à de nombreux sites, et permettent même d'acquérir une vision unificatrice sur les vallées en contrebas...

A l'opposé certains théorèmes nouveaux sont plus "marginaux". Ils n'auront au début qu'un seul chemin parfois tortueux, celui du découvreur, mais les autres vont pouvoir, à partir de ce point revenir plus rapidement, puis créer des chemins de plus en plus rapides à partir des zones habitées.

Un exemple toujours en cours : la classification de tous les groupes simples finis. Les démonstrations initiales ont pris des dizaines de milliers de pages par des auteurs différents. Aujourd'hui, on essaye de tout reprendre, mais, connaissant le résultat, on devrait pouvoir simplifier énormément (environ 5000 quand même). Malheureusement, la mort d'un des mathématiciens promoteur de cette classification de deuxième génération va retarder de plusieurs années ce travail de restructuration.

[invite0b5bb75e]

Merci pour ta réponse, ta vision.

Modestement, c'est ce que je pense: ce n'est qu'une question de temps pour trouver d'autres démonstrations pour le dernier théorème de Fermat (pour prendre un exemple emblématique).