Anneau intègre

[invite3f24dd20]

Bonjour,
Voici l'intitulé de mon exercice

Soit A un anneau commutatif intègre. Rappelons qu'un élément non nul p de A est premier s'il n'est pas unité et si, lorsque p divise un produit d'éléments de A, il divise l'un des termes
1) Montrer qu'un élément p est premier si et seulement si A/(p) est intègre
2) Montrer que tout élément premier de A est irréductible
3) Supposons que A est factoriel. Montrer qu'un élément de A est premier si, et seulement si, il est irréductible

Dans mon cours j'ai la définition d'un anneau commutatif intègre.

Pour la question 1 je ne sais pas s'il s'agit de l'anneau quotient ou de A privé de (p)

Pour la question 2 j'ai raisonné par récurrence :
supposons a appartient à A premier et a=bc
a divise b ou a divise c
Prenons a divise b
b=ad
a=bc=adc
donc dc=1 car A intègre a a!=0
je ne sais pas comment conclure

Pour la question 3 je ne sais pas ce qu'est un anneau factoriel, je regarde sur internet en ce moment

Merci pour votre aide
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[invite3f24dd20]

Déjà dans la définition de nombre premier il y a quelque chose qui me dérange
4 divise 4*7 pourtant 4 n'est pas premier

[inviteb60d7186]

Bonjour.

Tout d'abord, voici un petit éclaircissement pour la définition d'un nombre premier.

Un élément non nul p de A est premier s'il n'est pas unité

jusqu'ici, c'est clair.

et si, lorsque p divise un produit d'éléments de A, il divise l'un des termes

Autrement dit, tu prends deux éléments a et b qui appartiennent à A et SI p divise le produit a*b MAIS p ne divise pas a, ALORS p divise b.

Ensuite, en ce qui concerne les questions :

1) A/(p)A tel quel est l'anneau quotient. Exemple : Z/nZ
A\(p) est A privé de (p).

2) Ce que tu as fait n'est pas une récurrence. Peut-être pourrais-tu tout simplement tenter de montrer l'affirmation par l'absurde.

3) Un anneau factoriel, c'est un anneau intègre qui vérifie également la propriété suivante : tous ses éléments se décomposent en un produit d'un élément inversible et d'éléments irréductibles. Pour répondre à la question, peut-être pourrais-tu essayer par une implication (Un élément p appartenant à A est premier => p est irréductible) puis par une implication réciproque (Un élément p appartenant à A est irréductible => p est premier)
Si tu as du mal à démarrer, je t'invite à regarder le Lemme d'Euclide.

Bon courage.