produit tensoriel de morphisme de A module

[invitef53905f1]

bonjour,
pouvez vous m'aider à répondre à la question suivante:
Ect ce que le produit tensoriel respecte les monomorphisme de A module?
merci en avance.
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[invitecbade190]

Salut :

Je ne suis pas sûr de bien saisir votre question :
respecte les monomorphismes ne signifie -t-il pas que : est un monomorphisme si : et sont des monomorphismes ?
Si c'est le cas, et sauf erreur de ma part, on utilise la propriété :

[invitef53905f1]

Bonjour Chentouf
oui c'est le cas .mais j'ai pas compris comment utiliser la propriétée que vous m'avez donné .pouvez vous m'expliquer comment l'utiliser?
Bien cordilement

[invitecbade190]

Je ne sais pas quelle est la définition de monomorphisme dans ton cours, car ça dépend des auteurs. Pour moi, il faut établir que :
Si pour tout et deux inverses à gauches respectivement à et , alors : est inverse à gauche de, et par conséquent, est un monomorphisme.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef53905f1]

un monomorphisme est un morphisme injective .donc votre reponse est juste pour les isomorphismes: c'est à dire les morphismes bijectives

[invitecbade190]

Non, elle est juste pour les isomorphismes s'ils admettent un inverse à gauche et un inverse à droite. Pour vérifier qu'ils sont injectifs, il suffit de montrer qu'ils ont un inverse à gauche. Pour montrer qu'ils sont surjectifs, il suffit de montrer qu'ils ont un inverse à droite.

[invitecbade190]

Salut :

J'ai dit de grosses bourdes dans ce fil. Je suis tellement désolé. Je ne sais pas ce qui m'arrive ces derniers temps. Je corrige ce que j'ai dit :
En fait, dans cet exercice, je raisonnais par rapport à la catégorie des ensembles, le produit de deux monomorphismes est un monomorphisme, c'est évident, par contre, quant on change de catégories, il y'a des changements qui se passent. Dans la catégories des modules, qui est une catégorie monoîdale, le produit est le produit tensoriel , mais on n'a pas toujours le produit tensoriel de deux morphismes injectives est un morphisme injectif. Parce que, on peut repérer une anomalie toujours fréquente dans cette catégorie qui est que le foncteur : n'est pas toujours exact à gauche ( Il est exacte à droite par contre ). Il est exacte à gauche lorsque est plat, C'est à dire, lorsque : transforme un morphisme injectif : en un morphisme injectif , et ça quant : est plat, c'est à dire, il ne contient pas des éléments de torsion. Mais pas tout les modules sont plats, par exemple : qui contient des éléments de torsion, donc, le produit tensoriel de deux injections : n'est pas une injection, même si définie par : et l'identité sont deux injections, car : . ( Elle n'est donc pas injective )

Je suis vraiment confus, je ne sais pas comment me faire pardonner, j'avais la tête ailleurs, et je te demande une nouvelle fois pardon pour le grand dommage que je t'ai provoqué. Je ferai de mon mieux pour ne pas tomber dans des erreurs pareil dorénavant. Je te demande pardon mona123. La théorie des catégories m'a complètement bouleversé l'esprit. Je suis noyé.

[invitecbade190]

Donc, la formule : qui est propre à la catégorie des modules en particulier, est à utiliser prudemment. Son équivalent en catégorie des ensembles est : .
Ce qui fait la différence entre : et est lorsqu'on spécialise ces morphismes, on s'aperçoit que : en catégorie des modules, par contre, dans la catégorie des ensembles, on n'a pas : avec avec : un - module, et avec un anneau. C'est ce qui fait la différence entre : et , et donc, cela fait partie des points qui font la différence entre la catégorie des modules et la catégorie des ensembles.