Autour des matrices et des valeurs propres, une question bête

[inviteec33ac08]

Bonjour,

j'ai une question un peu bête à vous soumettre. SI je considère A,B deux matrices dans M_n (R). J'appelle A_j et B_j les j-ièmes valeurs propres de A et B respectivement. Alors puis-je affirmer que les valeurs propres de la matrice A+k*B (k est un réel non nul de préférence) sont les A_j+k*B_j ? Dans le cas où c'est faux quelle hypothèses doit-on avoir sur les matrices A et B pour rendre cette dernière affirmation vraie ?

Un grand merci à vous !!!
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[Resartus]

Réponse en général non : pour qu'on puisse additionner ainsi il faut qu'il existe une base où les deux matrices sont simultanément diagonales.

[inviteec33ac08]

Merci et si je me place dans le cas particulier où A et B sont symétriques ?

puis A symétrique et B anti-symétrique ?

Merci encore !

[invitecbade190]

Salut :

Ce que je vais expliquer ici n'est pas une réponse fiable, néanmoins, tu peux t'appuyer sur elle pour t'ouvrir un peu mieux les yeux vis à vis de ce problème.

Tu supposes que et sont deux matrices diagonalisables dans de valeurs propres respectives : et avec : .
Donc, il existe une base ( resp. une base ) dans laquelle, avec une matrice de passage qui exprime dans la base canonique de l'espace de départ ( resp. avec une matrice de passage qui exprime dans la base canonique de l'espace de départ )

Par conséquent : .

Maintenant à toi de voir quant a pour valeurs propres : avec : .

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Salut :

Ce que je vais expliquer ici n'est pas une réponse fiable, néanmoins, tu peux t'appuyer sur elle pour t'ouvrir un peu mieux les yeux vis à vis de ce problème.

Tu supposes que et sont deux matrices diagonalisables dans de valeurs propres respectives : et avec : .
Donc, il existe une base ( resp. une base ) dans laquelle, avec une matrice de passage qui exprime dans la base canonique de l'espace de départ ( resp. avec une matrice de passage qui exprime dans la base canonique de l'espace de départ )

Par conséquent : .

Maintenant à toi de voir quant a pour valeurs propres : avec : .

Cordialement.

Edit : Grillé.