Réciproque de la fonction factorielle

[DavianThule95]

Bonjours,

Connaîtriez-vous la réciproque de la fonction factorielle ou gamma, qui permet de résoudre :


Merci d'avance.
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[stefjm]

Bonsoir,
Peut-être :
https://en.wikipedia.org/wiki/Reciprocal_gamma_function

[Resartus]

Attention : Il y a en anglais permutation des sens entre reciprocal et inverse

La définition en anglais de reciprocal est celle qu'on donne en Français à l'inverse
http://calculus.subwiki.org/wiki/Reciprocal_function
et réciproquement :
https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function

La réciproque (au sens français) de la fonction gamma(x) (factorieille(x-1))existe si on se limite aux nombres réels supérieurs à 1,461, où la fonction est monotone.
voici un lien qui donne la réponse :
http://mathoverflow.net/questions/12...gamma-function

Mais il faut utiliser la fonction de lambert qui n'est pas une fonction très standard

Alors il est sans doute plus simple de trouver le n par itérations avec un solver

[stefjm]

Attention : Il y a en anglais permutation des sens entre reciprocal et inverse

La définition en anglais de reciprocal est celle qu'on donne en Français à l'inverse
http://calculus.subwiki.org/wiki/Reciprocal_function
et réciproquement :
https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function

Merci pour la rectification.
Je viens de me souvenir pourquoi je déteste l'anglois.

Je la trouvais un peu simple l'expression de cette réciproque, mais j'avais zappé ce faux ami (si je ne l'ai jamais consciemment connu!).

[A voir en vidéo sur Futura]

[DavianThule95]

Merci pour ces réponses !

[CM63]

Bonjour,

Attention : Il y a en anglais permutation des sens entre reciprocal et inverse

La définition en anglais de reciprocal est celle qu'on donne en Français à l'inverse
http://calculus.subwiki.org/wiki/Reciprocal_function
et réciproquement :
https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function

Celle-là, elle est pas piquée des hannetons

[Char3627]

Vous pouvez approximer la fonction réciproque par :

√ln(x³√x+(e+1)/(2e³))-1/2

Pour tout x IR ≥ ≈ √(2π)/e
- de toute façon avant cette valeur la fonction est indéfinie -

Attention cependant l'approximation a une marge d'erreur de croissance relativement rapide.

Vous avez une approximation parfaite ou quasi-parfaite sur [6 ; 8] (∆err < 0,25%).

Vous avez une excellente approximation sur [≈√(2π)/e ; 41,25] (∆err < 5%).

Vous avez une très bonne approximation sur [41,25 ; 60] (∆err < 10%).

Pour x > 60, ∆err > 10% et donc cette approximation devient bien moins pertinente.
Son avantage est que même si elle est moche et un peu lourde en écriture, elle est à base de fonctions usuelles.

Mais il existe une excellente approximation sur IR ≥ √(2π)/e de la réciproque de la fonction gamma, l'approche de Stirling :

ln(x/√(2π))/W_0((1/e)ln(x/√(2π))) -1/2

Elle offre des résultats au moins excellents, l'inconvénient est qu'elle use de la fonction W de Lambert, qui n'est pas usuelle.

Ce n'est certes pas une fiction ultra compliquée, d'autant qu'ici on use de sa branche principale. Donc si tant est qu'on ait des bases sur cette dernière, on s'en sort.

Mais bon, ça reste pas usuel.

[pm42]

Vous pouvez approximer la fonction réciproque par :

Bonjour,
Ce n'est pas intéressant mais tu réponds à une question posée en 2015.

[stefjm]

@Char3627
Bienvenu.
pm42 a sous doute voulu dire que ton premier post ici était intéressant, mais en employant une double négation ratée dans la forme.
8 ans, ce n'est pas si vieux et ta réponse m'est utile. Donc merci et encore bienvenu.

[pm42]

Oui, je voulais en effet dire que c'était intéressant. Merci pour la correction.