Espace vectoriel

[Magnetika]

Bonjour,

Je débute avec les espaces vectoriels et j'ai un petit problème de compréhension :

Prenons par exemple 2 ensembles :

A = {x,y E R²| 3x + y >=0}

B = {x,y E R²| 3x + y > 0}

Dans le premier cas, en examinant les 8 propriétés, j'ai un problème avec le point " symétrique ". Je ne sais pas si j'ai le droit d'écrire que (3x + y)+(-(3x + y)) = 0E
(Dans le sens où -3x -y ne sera pas >= 0 donc je ne sais pas si j'ai le droit de prendre ces éléments)
Dans le cas du B , le vecteur nul n'appartient pas à B donc il n'existe pas d'élément neutre appartenant à E tel que (3x + y) + 0E = 3x + y. Donc je pense que B n'est pas un espace vectoriel.

Si quelqu'un pouvait m'aider à clarifier mes raisonnements, ce serait sympa.
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[gg0]

Bonjour.

1) Je suppose qu'il s'agit de A = {(x,y) E R²| 3x + y >=0} et B = {(x,y) E R²| 3x + y >=0}.
2) Tu ne dis pas ce que tu veux faire. Dois-je comprendre qu'on te demande si ce sont des sous-espaces vectoriels de (R²,+,.) ? Dans ce cas, c'est (x,y) qu'il faut considérer. "(3x + y)+(-(3x + y)) = 0E" n'a pas de sens : (3x + y)+(-(3x + y)) est un réel, pas 0E =(0,0).

Donc soit tu as déjà un cours sur les sous-espaces vectoriels, et il te suffit d'appliquer la règle; soit tu n'as pas vu, ou on te demande d'utiliser la définition d'espace vectoriel, et il te faut dire de quoi tu parles : A est un ensemble, un espace vectoriel est un triplet avec un ensemble et deux lois (relis ton cours !). Donc quelles sont les lois ?

Cordialement.

[PlaneteF]

Bonjour,

Et pour en rajouter , c'est quoi ?! ... On doit deviner par nous-mêmes que c'est !?

Cordialement

[Magnetika]

Merci pour les réponses et désolé pour les imprécisions.
En fait je dois dire si les ensembles A, B, sont des espaces vectoriels ou pas. Et ceci uniquement en examinant les huit propriétés (je ne peux pas passer par les sous-espaces vectoriels, on ne les a pas encore traités)
(Les ensembles sont munis des deux lois usuelles)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Donc pas de E !!!

Ensuite, tu parles "des deux lois usuelles". Peux-tu les rappeler ? Et mettre en œuvre les définitions (donc écrire tes calculs ici) ?

[Magnetika]

Donc muni des deux lois :

1) Lci : (x1,y1) + (x2,y2) = (x1 + x2 ; y1 + y2)
2) Lce : Lambda(x,y) = lambda(x) + Lambda(y)

Pour A, j'ai vérifié l'associativité, la commutativité et j'ai donc un problème avec le point 3 (symétrique) qui dit que : x + (-x) doit être égal à 0A
Si je fais ce que j'ai écrit plus haut c'est ok car le vecteur (3x + y) + son vecteur opposé donne bien le vecteur nul. Maintenant je ne sais pas si j'ai le droit de faire ça vu que dans la définition de l'ensemble 3x + y doit être plus grand ou égal à zéro....(ce qui n'est pas le cas du vecteur opposé)

[gg0]

Pour la loi de composition interne, Ok, à condition de mettre les quantificateurs : "Quels que soient (x1,y1) et (x2,y2) pris dans A, on pose (x1,y1) + (x2,y2) = (x1 + x2 ; y1 + y2) et on vérifie que c'est bien un élément de A (loi de composition interne - Au fait, tu as vérifié que c'est bien dans A ?)
Pour la loi de composition externe, ce que tu as écrit est du n'importe quoi. D'ailleurs, c'est quoi, lambda ?

Avant de vérifier les propriétés, encore faut-il avoir les lois correctement définies !

"Si je fais ce que j'ai écrit plus haut c'est ok car ..." Non, c'est aberrant ! Quels sont les éléments de A ? 3x+y n'est pas un "vecteur", ce n'est pas un élément de A.

Tu vois, tu écris des "calculs" avant même d'avoir regardé de quoi tu dois parler : Quel est l'ensemble ? Quelles sont les lois ? Sont-elles bien une LCI et une LCE ayant les bonnes caractéristiques, etc.

Et quand tu écris " j'ai vérifié l'associativité", je ne te crois pas, car tu n'as pour l'instant rien écrit qui puisse me le faire penser. D'ailleurs, tu écris 0A, mais tu ne le définis pas. Or avant de parler de symétrique, il faut avoir montré l'existence d'un élément neutre (pour +).

Donc reprends ton travail à la base, et écris ici ce que ça donne.

Cordialement.

NB : Ce que tu as fait ici montre que tu es "hors du coup".

[Magnetika]

Bon je reprends la lce : L(x,y) = (Lx,Ly)

Concernant les huit propriétés à vérifier on nous les a présenté à partir d'un vecteur u , c'est pour cela que je ne comprends pas vraiment ce que tu me dis. Si on a pas de vecteurs, comment on peut obtenir un espace vectoriel à la fin ?

Eh oui, " hors du coup " , si l'inverse était vrai, je ne serai pas ici.

[gg0]

La LCE n'est pas seulement une égalité, mais le fait que L(x,y) existe bien. Pour tout (x,y) de A et tout L de R. Tu y crois vraiment ?

Le mot vecteur désigne les éléments d'un espace vectoriel. Tant qu'on n'a pas un espace vectoriel, on n'a pas encore de vecteurs. Mais le plus grave est que tu ne sembles pas avoir encore compris que les futurs vecteurs sont des couples. Lis la définition de A, et travaille avec A, comme tu viens de le faire pour les deux lois. Enfin ... pas suffisamment.

Enfin, je remarque que pour l'instant tu te contentes de rester sur ce que tu as fait au début pour le défendre sans vraiment t'attaquer au sujet. En tout cas pas ici. Comme ce que tu disais au début n'a aucun intérêt pour répondre au problème posé, tu n'avances pas.

Qu'attends-tu pour traiter la question :
1) Existence de 2 lois
2) Vérification des propriétés

Normalement, en faisant le 1, tu trouves la réponse à l'exercice.

[PlaneteF]

Bon je reprends la lce : L(x,y) = (Lx,Ly)

Petit conseil : Puisque tu débutes sur les espaces vectoriels, je te conseille de ne pas faire de simplification d'écriture et de bien faire apparaître le signe "" de la "lce à gauche". Il est important au début de bien coller l'écriture avec la définition de base. Ensuite avec l'habitude les simplifivcations d'écriture peuvent être envisagées.

Donc préférer écrire :

Cdt

[Magnetika]

En fait, pour L appartenant à R, ça ne peut pas fonctionner (je pense que c'est ça que tu essaies de me dire) vu que pour un lambda négatif on sort de l'ensemble.

(ok planeteF, merci pour la remarque)

[PlaneteF]

En fait, pour L appartenant à R, ça ne peut pas fonctionner (je pense que c'est ça que tu essaies de me dire) vu que pour un lambda négatif on sort de l'ensemble.

Soit plus concret et plus précis, si tu estimes que "ça ne peut pas fonctionner" comme tu le dis, et bien donne un contre exemple.

Cdt

[Magnetika]

Non en fait j'ai rien dit. Désolé mais je ne comprends plus rien du tout là.

[PlaneteF]

Non en fait j'ai rien dit. Désolé mais je ne comprends plus rien du tout là.

Mais si, ... ce que tu as dit était certes maladroitement formulé mais l'idée était la bonne ... Donne un contre-exemple, c'est très simple !

Cdt

[Magnetika]

je voulais dire que si 3x + y >=0 , alors avec lambda = (-1) , ce ne sera plus le cas.
on aura 3(Lx) + (Ly) <= 0

[PlaneteF]

je voulais dire que si 3x + y >=0 , alors avec lambda = (-1) , ce ne sera plus le cas.
on aura 3(Lx) + (Ly) <= 0

Pour un contre-exemple, il faut du concret de chez concret. Là tu viens de choisir une valeur pour , et bien fais de même en choisissant un couple .

Cdt

[Magnetika]

Pour le couple (2;3) et lambda = -1 , 3x + y < 0

[PlaneteF]

Pour le couple (2;3) et lambda = -1 , 3x + y < 0

Oui, par exemple, ... Tu peux même prendre quelque chose d'encore plus simple comme par exemple .

Maintenant à toi de faire une rédaction propre et précise.

Cdt

[Magnetika]

ok c'était sensé être des exos pour nous entraîner à tester les huit propriétés donc j'ai même pas pensé au fait que l'exo pouvait se conclure au niveau des lois de départ.

[gg0]

On ne peut pas tester les propriétés si les lois sont mal définies. En fait, tu vas apprendre, avec la notion de sous-espace vectoriel, qu'il suffit qu'elles soient bien définies. Car comme elles sont vraies dans l'espace vectoriel global (ici R²), elles sont automatiquement vraies dans la partie (ici A) si elles ont un sens.

Cordialement.

[gg0]

Merci PlaneteF d'avoir pris le relais.

Cordialement.

[PlaneteF]

Merci PlaneteF d'avoir pris le relais.

Mais c'est tout naturel.

Cdt

[Magnetika]

Merci pour l'aide.

[PlaneteF]

1) Lci : (x1,y1) + (x2,y2) = (x1 + x2 ; y1 + y2)

Je reviens sur les abus d'écriture. Ici attention, il ne s'agit pas du même signe à gauche et à droite de l'égalité.

Si l'on veut être plus précis dans l'écriture on peut écrire :




Cdt

[PlaneteF]

Encore une petite précision : Bien préciser le corps sur lequel on travaille, ... ici on a supposé depuis le début qu'il s'agissait de -espaces vectoriels, mais cela n'était pas indiqué.

Cdt

[Magnetika]

Je reviens sur les abus d'écriture. Ici attention, il ne s'agit pas du même signe à gauche et à droite de l'égalité.




Cdt

Justement, est-ce que tu pourrais m'expliquer cette nuance de + stp ? Celui de gauche doit être considéré comme une opération interne en fait ?

[gg0]

Quand tu ajoutes des couples, c'est une opération sur des couples, pas le + habituel des nombres.

[Magnetika]

d'accord, merci

[PlaneteF]

Bonjour,

Justement, est-ce que tu pourrais m'expliquer cette nuance de + stp ? Celui de gauche doit être considéré comme une opération interne en fait ?

Il y a ce même type d'abus d'écriture lorsque l'on écrit la propriété :

En fait c'est plus précisément après les quantificateurs :

(bien distinguer et )


Cordialement