connexité par arcs

[invite98d04520]

salut
comment peut on montrer qu'une composante connexe par arcs d'une partie ouverte est ouverte
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[Resartus]

Un exemple de démonstration : pour tout point de la composante connexe par arcs, il existe une boule autour de ce point appartenant entièrement à l'ouvert.
L'union de cette boule et de la composante connexe par arcs est également connexe par arcs. Comme la composante est l'ensemble le plus grand possible connexe par arcs à partir de ce point, cette union doit appartenir en totalité à la composante

[invite47ecce17]

Bonjour,
En l'etat ton resultat est faux, Q est un ouvert de Q, et ses composantes connexes par arcs ne sont pas ouvertes.
J'imagine que tu dois avoir une hypothese de locale connexité par arcs.

[invite98d04520]

bonjour
merci pour tous les intervenant , je n'arrive pas a comprendre la locale connexité par arcs !!
un connexe par arcs est tel que on peut joindre deux points par un chemin c tt
dans votre exemple vous parlez d'un ouvert relatif , dans l'énoncé c'est un ouvert de l'espace tout entier,ainsi Q n'est pas ouvert dans R (par densité)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite47ecce17]

Un ouvert est toujours relatif...
Dans un espace metrique quelconque, les boules n'ont aucune raison d'etre connexe par arcs. Dans un espace topologique quelconque, un point n'a aucune raison d'admettre une voisinage connexe par arcs. Les espaces topologiques localement connexe par arcs, désigne les espaces dans lequel tout point admet un systeme fondamental de voisinage de connexe par arcs. Dit autrement pour tout point x et tout ouvert U contenant x, tu peux trouver V, ouvert connexe par arcs, tel que x soit dans V et V dans U. Pour ces espaces là, les composantes connexes par arcs sont ouvertes (trivial à prouver). Comme un ouvert d'un espace localement connexe par arcs est localement connexe par arcs, alors tout ouvert d'un espace localement connexe par arcs a des composantes connexes par arcs ouvertes (dans l'ouvert ou l'espace total, ca revient au meme).

Bon, un espace métrique quelconque n'est pas necessairement localement connexe par arcs, Q par exemple ne l'est pas. Il faut donc que tu precises ton enoncé, qui en l'etat est faux.

Au passage, etre localement connexe par arcs est une condition necessaire et suffisante pour que les comp conn par arcs d'un ouvert quelconque soit ouvertes.

[invite9dc7b526]

Schwartz donne un exemple d'espace topologique connexe par arc mais non localement connexe par arcs: la partie du plan qui est la réunion de la droite x=0 et des droites y=rationnel, munie de la topologie induite par celle du plan. On peut rejoindre deux points par un chemin constitué d'au plus trois segments mais autour d'un point non situé sur cette droite on peut trouver un voisinage non connexe.