Bonjour,
J'ai un exercice dont on me demande de calculer le polynôme caractéristique d'une matrice compagnon d'un polynôme de degré n,j'ai pensé alors à expliciter le polynôme caractéristique sous sa forme générale mais je ne vois pas comment trouver tous ses coefficients, si quelqu'un peut m'aider s'il vous plait
MERCI d'avance.
Le polynome caracteristique de la matrice compagnon du polynome unitaire P est précisément P*(-1)^n. C'est étudié pour!
Pour le vérifier, on peut par exemple développer le déterminant sur la dernière colonne qui contient l'opposé des coefficients du polynome.
Si on regarde le déterminant mineur associé au coefficient -pj, qui est en ligne j+1, on voit qu'il ne contient qu'une seule combinaison non nulle, qui vaut :
(-x)^(j)*1^(n-j). Dans le calcul du polynome caractéristique, cela donne le terme -pj*(-1)^(n+j)*(-1)^(j)*x^j soit (-1)^n*pj*x^j
Pour la dernière ligne, il faut rajouter en plus un terme en (-x)^n .
Au total, on a bien retrouvé le polynome unitaire de départ multiplié par (-1)^n :
(-1)^n*(X^n+ sigma(pj)X^j) pour j=0 à n-1
Je ne comprend pas ce que vous voulez dire avec une seule combinaison non nulle pour le déterminant mineur ,d'ailleurs en développant les calculs au niveau du déterminant de la matrice j'ai pu obtenir les déterminants mineurs des deux premiers coefficients -p0 , -p1 ,comme étant des matrices triangulaires alors c'était facile de calculer leurs déterminants , mais pour les autres j'ai eu des trucs un peu compliqué
MERCI encore une fois de m'avoir aider.
Mais c'est précisément parce que ces sous matrices sont triangulaires (avec d'ailleurs beaucoup de zeros), que seule la diagonale principale va donner un produit non nul. Elle contient des -X jusqu'à la ligne j, puis des 1 qui ont été remontés d'un cran après suppression de la ligne j+1.Exemple avec 5x5 :
-x 0 0 0 -P0
1 -X 0 0 -P1
0 1 -X 0 -P3
0 0 1 -X -P4
0 0 0 1 -P5-X
Determinant mineur correspondant à -P3 :
-x 0 0 0
1 -x 0 0
---------------
0 0 1 0
0 0 0 1
Je pense que pour la matrice que vous avez proposé,dans le déterminant mineur associé à -p3 il devrait y avoir un -x à coté du 1 dans la ligne 4 ,colonne 4,si je ne me trompe pas ce qui ne donnera pas une matrice triangulaire.
Exact. Au temps pour moi.
Neanmoins, la matrice contient suffisamment de zeros pour que les termes associés soient nuls.
On peut par exemple prendre la colonne j, qui ne contient qu'un seul 1, et voir qu'à gauche en bas et en haut a droite il y a des matrices nulles, que en haut a gauche il y a une matrice triangulaire basse, et en bas a droite une matrice triangulaire haute. La contribution de ces deux matrices au déterminant mineur, est donc seulement le produit des diagonales.
je ne comprend pas comment la contribution de ces deux matrices pourra donner un déterminant qui est égal au produit de la diagonal;;c'est basé sur quoi??
Voir ceci : à la rubrique "matrice par blocs"
http://uel.unisciel.fr/mathematiques...re_ch1_07.html
oui,c'est bon pour les matrices triangulaires par bloc,je comprend pourquoi on aura le produit de la diagonale ,il ne me reste que mettre le tous sous une forme plus générale.
MERCI infiniment.
