Bonjour je suis actuellement en prépa et j'ai un exercice à rendre et je suis un peu bloqué j'aimerais de l'aide SVP.
Exercice 1 :
k et m sont deux entiers non nuls. n est un entier. Soit la fonction :
Fk : R ==>R, x==>Fk(x)= (1-kx)exp(kx) . On considère Sk,n = {x ∈ℝ, Fk(x) = n} et
Nk,n = Card(Sk,n) (Card désignant le nombre d’éléments de l’ensemble)
On note SHm l’ensemble des fonctions réelles (x ==> y(x)), deux fois dérivables sur IR, qui vérifient l’équation différentielle (Hm) : my’’ -2 m2 y’ + m3 y = 0
On note Sm l’ensemble des fonctions réelles (x ==> y(x)), deux fois dérivables sur IR, qui vérifient l’équation différentielle (Em) : my’’ -2 m2 y’ + m3 y = exp(2x)
1. Etudier Fk (tableau de variations et limites) en fonction de la valeur de k
2. Déterminer Sk,1 en fonction de k
3. Déterminer Sk,0 en fonction de k
4. Déterminer Nk,k en fonction de k
5. Déterminer SHm
6. Déterminer Sm (Attention à bien distinguer les cas, en fonction de m)
7. Dans le cas m = 2, déterminer la fonction y2 solution de (E2) et vérifiant y2(0)=y2’(0)=0
8. Dans le cas m ≠ 2, déterminer la fonction ym solution de (Em) et vérifiant ym(0)=ym’(0)=0
9. Dans le cas m ≠ 2, montrer que pour tout x réel : ym(x)= A exp(2x) [1- FB(x)], où A et B sont des constantes que l’on déterminera en fonction de m
10. En déduire que si m ≠ 2, ym est de signe constant sur IR.
Merci d'avance.
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