Probléme Continuité et Bijection

[Paschen]

Bonsoir tout le monde

Alors voila je suis actuellement en train de faire un exo de maths, et je tombe sur quelques incohérences dans mes réponses:

L'exercice concerne l'étude de la fonction suivante : f(x)= e^(((x+1)/x)*ln(x)) (tout est dans l'exponentielle)
La premiere question est de savoir si la fonction est continue sur R+, puis dérivable sur R+
je pense que c'est faux ? étant donné que la fonction n'est pas définie en 0, elle n'est donc pas continue en 0 et donc pas continue sur l'intervalle, non ?

Le probléme c'est que quelques questions après, je dois étudier les variations de f et prouver que f est une bijection de R+ sur lui méme.
Je ne sais pas exactement ce qu'est une bijection, mais en me renseignant j'ai vu qu'il falait prouver que la fonction étaient continue, monotone, et atteignée l'infini, en l'infini.
c'est donc incohérent avec ma premiere question ! comment prouver cela si j'ai dis précédemment qu'elle n'etait pas continue ? me suis trompé quelque part ?

Merci d'avance !
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[minushabens]

non, une bijection n'a pas à être continue.

[Paschen]

Okk cool alors ca c'est plutôt une bonne nouvelle

Le truc c'est que c'est la premiere fois que je vois ce mots (bijection) et je n'ai pas de cours la desuus
du coup il faut juste une fonction monotone ?

[gg0]

Bonsoir Paschen.

Ta fonction n'est-elle pas définie sur ?
Sinon, si elle est définie sur , n'a-t-elle pas été complétée par sa limite en 0 ?

Autre chose : Comment vas-tu prouver que c'est une bijection si tu ne sais pas ce qu'est une bijection ? Il te manque sans doute des cours de base qui sont supposée connus avant cet exercice. Il serait bon de les apprendre.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonsoir,

Okk cool alors ca c'est plutôt une bonne nouvelle

Le truc c'est que c'est la premiere fois que je vois ce mots (bijection) et je n'ai pas de cours la desuus
du coup il faut juste une fonction monotone ?

La continuité peut être utilisée au travers du théorème des valeurs intermédiaires permettant de démontrer la surjectivité.

Quant à la monotonie seule, elle ne garantit pas l'injectivité, la stricte monotonie, oui.

Cordialement

[Paschen]

gg0: Si justement elle est définie sur R*+ oui
Et justement, je cherche a savoir ce qu'est une bijection mais la ca commence a être bon , Parce que justement je n'ai aucun cours dessus
Je suis a jour dans mes cours et c'est certain, ca a sans doute été donné de façon a nous faire chercher.

En tout cas merci a tous d'avoir répondu a mes questions, tout va bien maintenant j'ai reussi
PLANETEF Merci, ca correspond donc a ma fonction qui est strictement croissante

[PlaneteF]

PLANETEF Merci, ca correspond donc a ma fonction qui est strictement croissante

Ca c'est pour démontrer l'injectivité. Par ailleurs il faut aussi démontrer la surjectivité, chose que tu as peut-être déjà fait ?!

Cdt

[Paschen]

Ha oui ok
donc pour demontrer la bijectivité il faut montrer la surjectivité et l'injectivité, c'est ca ?
du coup non j'ai pas encore fait la surjectivité

[Paschen]

Mais dire que l'a fonction est défini sur R*+ et Qu'elle est strictement croissante sur ce méme interval ne demontre pas a la fois la subjectivité et l'injectivité de la fonction ?

[PlaneteF]

donc pour demontrer la bijectivité il faut montrer la surjectivité et l'injectivité, c'est ca ?
du coup non j'ai pas encore fait la surjectivité

L'injectivité ne te garantit pas que tous éléments de l'ensemble d'arrivée ont un antécédent, elle te garantit qu'ils ont au plus un antécédent.

Cdt

[Paschen]

Injectivité montre qu'il y en a au plus 1 et surjectivité au moins 1 ?
Mais si elle est strictement monotone, il y en a donc au plus 1, et si elle est défini sur l'emsemble, ca ne veut pas dire que chaque element a au moins un antcédent ?

[PlaneteF]

et si elle est défini sur l'emsemble, ca ne veut pas dire que chaque element a au moins un antcédent ?

Je ne vois pas en quoi la définition sur l'ensemble de départ garantirait la surjectivité ?! ... Prend par exemple la fonction , elle est bien définie sur et pourtant elle n'est pas surjective (autre exemple encore plus triviale la fonction réelle nulle).

Cdt

[Paschen]

Pourquoi la fonction x=>x^2 n'est t'elle pas surjective ?
Comment démontrer qu'une fonction est surjective ? juste avec une étude des variations de la fonction c'est possible ?

merci beaucoup de l'aide

[Paschen]

Ha oui ! il peut y avoir 2 antécedent

edit : fail

du cou x^2 est surjective et pas injective non ?

[PlaneteF]

Pourquoi la fonction x=>x^2 n'est t'elle pas surjective ?

Attention à bien préciser l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée comme je l'ai fait. Et donc avec les ensembles que j'ai donnée, cette fonction n'est pas surjective parce que dans l'ensemble d'arrivée les réels strictement négatifs n'ont pas d'antécédent. Par contre la fonction , elle est surjective (et ce n'est pas la même fonction que la première puisqu'elles n'ont pas le même ensemble d'arrivée).

Comment démontrer qu'une fonction est surjective ? juste avec une étude des variations de la fonction c'est possible ?

Non les variations de la fonction ne suffisent pas ... Ici tu peux utiliser le théorème des valeurs intermédiaires qui va te garantir l'existence d'un antécédent pour tous les éléments de l'ensemble d'arrivée.

Cdt

[PlaneteF]

Ha oui ! il peut y avoir 2 antécedent

edit : fail

du cou x^2 est surjective et pas injective non ?

Tu mélanges tout. Voir mon message précédent et surtout un cours sur le sujet

Cdt

[Paschen]

Daccord, je me rend compte que j'avais mélanger plusieurs choses
merci beaucoup, je vais essayer de faire ca

[Paschen]

Ha oui ok j'ai compris ! j'ai mélanger Image et antécédent, je comprend pourquoi je dois faire le théoreme des valeurs intermédiaires du coup
Merci Beaucoup !!!!

[Paschen]

Du coup j'ai ma fonction definie sur ]0,+infini[, Lim en 0+ = 0 et lim en +inf = +inf
avec le théoreme des valeurs intermédiaires, je trouve donc que ma fonction, definie sur R*+, a donc pour tout ses elements, au moins un antécedent.
c'est correct ?

(la rédaction sera plus complete evidemment )

Merci beaucoup pour l'aide encore une fois

[PlaneteF]

avec le théoreme des valeurs intermédiaires, je trouve donc que ma fonction, definie sur R*+, a donc pour tout ses elements, au moins un antécedent.
c'est correct ?

Ce sont les éléments de l'ensemble d'arrivée qui ont au moins un antécédent.

Cdt