Bonsoir à tous et à toutes,
Dans l'un de mes exercices, on me demande de résoudre l'équation différentielle suivante par solution séries entières :
y''+xy'+y = 0
Je trouve comme solution a(k+2) = -ak/(k+2) avec a2 = 0 et a0 = 0.
Je ne pense pas m'être trompé jusque là mais, néanmoins, je n'arrive pas à continuer.
Quelqu'un pourrait m'aiguiller svp ?
Je vous remercie,
Cotton.
Bonsoir,
C'est l'énoncé qui vous dit que a0 doit être nul ?
Sinon d'après la relation de récurrence, vous pouvez exprimer a(n) en fonction de n et a1 seulement, en faisant une disjonction de cas pour les n pairs et impairs. Essayez déjà pour n = 1,3,5
A+
Non, a0 et a2 ont été déduit par calculs laborieux ^^'
Justement, je n'arrive pas à aller plus loin par cette voie. Je ne vois pas comment m'y prendre.
Merci.
Je vais le faire tranquillement.
On se propose de chercher les solutions de l'équation
sous la forme
On a alors
L'équation de départ devient alors
On rentre le x dans la somme du milieu, et on fait un changement de variable pour avoir les termes en x^n (histoire de pouvoir les regrouper ensuite
On fait sortir les termes en x^0 (car une somme commence à n=1), et on regroupe le reste
Maintenant, cette série entière est nulle, donc tout ses coefficients sont nuls. On a donc
Ou encore,
On voit donc qu'il va falloir faire deux récurrences, une pour les termes pairs, l'autre pour les termes impairs
On commence par les termes pairs. On a
Bon, ça n'est pas très sympathique, mais c'est pratiquement l'inverse du produit des nombres pairs : la factorielle n'est pas loin. Il suffit de diviser par deux chaque terme pour la faire apparaitre, ainsi qu'un 2^n :
Continuons avec les coefficients impairs. La même récurrence immédiate nous donne :
Ici on ne peux plus diviser chaque coefficient par deux, ceci dit, on peut multiplier en haut et en bas par les nombres pairs, en bas on va avoir (2n+1)!, et en haut, en factorisant par 2 chaque terme, n!2^(n-1) :
Bon, là c'est beaucoup plus vilain comme coefficients, mais bon, c'est la vie.
La partie paire de la fonction serra donc
Pour la partie impaire, ça me parait trop vilain pour trouver facilement une formule close (mais je peux me tromper)
Bonjour,
Je suis d'accord avec Tryss. Pour la partie impaire, la résolution de l'équation avec un solveur comme celui de wolframalpha montre qu'elle fait apparaitre la fonction d'erreur imaginaire donc c'est difficile de faire autre chose avec que de la garder sous forme de série
On voit bien qu'il existe des solutions pour lesquelles
A+
