limite de e(a*ln(x)-xln(a)) en +inf

[invite00c17237]

Bonjour,

J'ai un soucis pour le calcul de cette limite.

En factorisant, j'obtiens :

e(x*(a*ln(x)/x-ln(a))

Mais après je n'arrive pas à conclure

J'aimerais que la limite tende vers 0.

Mais x tend vers +inf et ln(x)/x tend vers 0.

Donc là je trouverai que ma limite tende vers 1.

Merci pour vos lumières
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[gg0]

Bonjour.

Sérieusement, tu n'as pas pensé à développer x*(a*ln(x)/x-ln(a)) ?
D'autre part, c'est quoi ce e au début ? Si c'est l'exponentielle, on l'écrit exp, ou on utilise la notation en exposant. Note aussi que tu ouvres 3 parenthèses mais n'en refermes que 2.

Cordialement.

[Seirios]

Bonjour,

Ton expression est-elle ou bien ? Parce que, en lisant ta question, on tendrait vers la première expression, mais n'implique pas du tout que ta limite soit ...

[gg0]

A noter :
la limite dépend bien évidemment de la valeur de a, très exactement du signe de ln(a). Et elle se trouve plus facilement à partir de l'expression initiale.

Autre chose :
"J'aimerais que la limite tende vers 0." qu'on le veuille ou pas, si la limite est 1, ce n'est pas 0; les désirs n'ont rien à faire en maths. De plus, la limite ne tend vers rien, elle est ce vers quoi une expression tend.

Que d'incompréhensions !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite00c17237]

Le point de départ est en fait la limite de :

(x^a)/(a^x) que je cherche à déterminer.

Merci pour vos conseils

[gg0]

Donc ton problème est de déterminer la limite de a ln(x)-x ln(a).
a est positif, donc si ln(a)<0 ou si ln(a)=0, la limite est évidente.
Reste le cas ln(a)>0, pour lequel tu peux effectivement forcer la factorisation par x, et voir ce que donne la limite. Il n'y a aucun problème et on trouve bien une limite nulle dans ce cas (pour (x^a)/(a^x) ). Mais le plus simple est les "croissances comparées" (terminale) ou plus mathématisé, le fait que ln(x) est négligeable devant x.

A toi de faire, expose tes calculs.

NB : (x^a)/(a^x) ne tend pas toujours vers 0.

[invite00c17237]

Merci pour vos conseils.

En factorisant par x, on obtient



Donc

si Alors

tend en +inf vers un nombre négatif à savoir et donc la limite recherchée en +inf de (x^a)/(a^x) tend vers 0.

si Alors

tend en +inf vers un nombre positif à savoir et donc la limite recherchée en +inf de (x^a)/(a^x)tend vers +inf.

si Alors

tend en +inf vers 0 et donc la limite recherchée en +inf de (x^a)/(a^x) tend vers 1.

Merci d'avance pour votre retour en cas d'erreurs et encore merci pour votre aide

[gg0]

Encore une fois, une limite est, elle ne tend vers rien !
Quand apprendras-tu tes leçons et le vocabulaire associé : Si f(x) tend vers 2, la limite est 2. 2 ne tend vers rien ce n'est pas la variable x.