famille generatrice

[invitebaf84f97]

Bonsoir,
pour montrer q'une famille est génératrice de E tel que dim(E)=n ,est ce qu'on a le droit de dire que si une famille est constituée de n vecteurs alors elle est génératrice de E .
MERCI d'avance.
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[gg0]

Non !

Une famille constituée de n vecteurs nuls n'engendre que {0}.
Dans R², considère {(1,1),(2,2)} est-ce une famille génératrice ?

Cordialement.

[invitebaf84f97]

donc ,y'a que la méthode classique de supposer que les vecteur de E s'écrivent comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille,puis chercher les scalaires.

[gg0]

Pour démontrer qu'une famille est génératrice ? Non, il y a différentes méthodes. Tous les théorèmes d'algèbre linéaire sont là pour être utilisés.

Par exemple, si tu peux montrer que ta famille est libre, alors c'est une base (elle a la bonne dimension) et donc elle est génératrice.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebaf84f97]

en fait j'ai l'ensemble des matrices qui commutent avec la matrice A et j'essaye de montrer que la famille {In,A,.....,A^(n-1)}est une base de cet ensemble.

[Resartus]

C'est assez facile à démontrer dans le cas où A a des valeurs propres distinctes, en se plaçant dans une base où A est diagonale.
Sinon, c'est faux : comme contre exemple il suffit de prendre la matrice In, qui commute avec toutes les matrices, mais n'engendre que kIn

[invitebaf84f97]

Pour A diagonalisable je ne vois pas comment utiliser la base où A est semblable à une matrice diagonale.

[Seirios]

Et en passant, on ne parle pas de base d'un ensemble, mais d'un espace vectoriel.

[invitebaf84f97]

Et en passant, on ne parle pas de base d'un ensemble, mais d'un espace vectoriel.

oui,bien sûr que je voulais dire l'espace vectoriel formé par cet ensemble...

[gg0]

Bonjour SJK.

Est-ce que tu as un énoncé précis ? Car {In,A,.....,A^(n-1)} n'a pas de raison d'être une base, d'être libre (prends A nilpotente, par exemple telle que A²=0). Et l'espace vectoriel des matrices qui commutent avec A n'est généralement pas de dimension n.

Cordialement.

[Resartus]

Il est facile de démontrer que les seules matrices qui commutent sont celles qui sont diagonales dans la même base (prendre par exemple une matrice dont tous les termes sont nuls sauf un terme non diagonal). La dimension de cet sous espace est n, et les A^j appartiennent tous à ce sous espace.
En sens inverse, pour démontrer que les A^j sont génératrices, on sait que, les racines étant toutes distinctes, le polynome minimal de A est de degré n exactement : A^n peut être exprimé comme combinaison linéaire des A^j, mais aucun polynome de degré inférieur n'est annulé par A. Les A^j de 0 à n-1 sont donc bien indépendants et le sous espace engendré est de dimension n..
Si on n'a pas encore étudié Cayley Hamilton, il y a peut-être une démonstration plus élémentaire en reconstruisant la base, mais je ne vois pas très bien comment procéder. Peut-être d'autres avis?

[invitebaf84f97]

mais comment s'assurer qu'aucun polynôme de degré<n ne peut être annulé par A??

[gg0]

Revois la théorie, en particulier la notion de polynôme minimal.

Deux remarques :
* Je trouve étonnant que tu poses des questions de débutant mais ne dis pas que les explications de Resartus te dépassent
* Tu n'as toujours pas donné l'énoncé !

Il est tout à fait possible qu'on soit en train de parler pour rien !! Par politesse, donne cet énoncé

[invitebaf84f97]

Il est tout à fait possible qu'on soit en train de parler pour rien !! Par politesse, donne cet énoncé

Oui bien sûr:
soit A une matrice de M_n(K) qui possède n-valeurs propres distinctes et on pose:
C(A)={B∈ M_n(K) \ AB=BA}
montrez que {In,A,.....,A^(n-1)} est une base de C(A).

[invitebaf84f97]

c'est bon c'est résolu,merci.

[gg0]

Donc Resartus avait intuité l'énoncé !! Quelle idée de ne pas le donner tout de suite ...