1+2+3+4+5+.....=-1/12 somme de tous les entiers positifs !!

[leon1789]

l'arnaque (que j'ai à dessein utilisée) réside sans doute dans l'identité: " 1+2+3+4+ ... = 0+1+2+3+4 ..."

En effet, avec la sommation de Ramanujan, on dit 1+2+3+4+ ... = -1/2 car on considère la fonction

prolongée en x=0 avec la fonction Zeta, d'où

Pour 0+1+2+3+4+ ... , on considère la fonction

prolongée en x=0 avec la fonction Zeta, d'où .

C'est exactement ce que j'évoquais dans mon message #9 : une propriété essentielle comme 0+a = a n'est plus valide avec des sommations comme celle de Ramanujan.
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[leon1789]

hum... ce que j'ai calculé n'est pas la sommation de Ramanujan, mais une autre sommation. Le nom mis à part, mon explication est correcte.

[invite82078308]

Si on veut pinailler d'un point de vue formel:
L'explication "0+a=a n'est plus valide" est critiquable.
Il faudrait dire:
considérons l'opérateur sur les suites qui à une suite u associe une suite v définie par:
v₀=0; v₁=u₀; v₂=u₁; v₃=u₂; etc
Les méthodes de sommations utilisées pour les séries divergentes ne sont pas invariantes par cet opérateur, qu'on peut appeler "décalage" ("shift" en anglais).
Par contre, la sommation classique est invariante par décalage, c'est donc une propriété qui est perdue quand on passe des séries convergentes aux séries divergentes, comme le montre mon petit exemple.

Mais il vaut mieux présenter les choses de façon pas trop formelle avant de les exprimer dans un langage plus rigoureux.

[leon1789]

Par contre, la sommation classique est invariante par décalage,

en effet, c'est même une propriété essentielle.

c'est donc une propriété qui est perdue quand on passe des séries convergentes aux séries divergentes

En fait, tout dépend comment on passe aux séries divergentes, car la sommation d'Abel ne souffre pas de ce problème de shift.