Fonction à trouver

[invite5e6727f3]

Bonsoir tout le monde , il y a un genre d'exercice qui me cause toujours problème .

G est une fonction définie sur R+ par : G'(x) = f(x) / f(x) =arctan x/x
On pose ( quelque soit x >=0 ) : F(x) = G(2x)-G(x)

- Montrer que quelque soit x>0 , il existe un c appartenant à )0,x( tel que : F(x) /x = f(c)

- Je sais qu'il faut utiliser TAF ou le théorème de Rolle mais je ne sais pas quelle fonction il faudrait considérer , et je ne sais pas sur quoi me baser pour la trouver. Si quelqu'un pourrait m'aider ..

Merci
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[gg0]

Bonjour.

Je suppose que ta fonction f est prolongée par continuité en 0 (f(0)=1), ce qui fait que G est bien défini.
"Je sais qu'il faut utiliser TAF ou le théorème de Rolle" Choisis ! A priori, ce n'est pas trop difficile.
"mais je ne sais pas quelle fonction il faudrait considérer" Eh bien, essaie. Regarde le théorème et essaie de voir.

En gros, cherche un peu seul (tu connais EXERCICES ET FORUM), et si tu bloques après avoir choisi et exploré une démarche, on pourra en parler.

Cordialement.

[gg0]

Tu es sûr de l'énoncé que tu as écrit ici ? Car il semble bien que F(x)/x <f(x) et comme f est décroissante, le c est difficile à trouver !!

[invite5e6727f3]

J'ai essayé plusieurs fonctions , mais je n'y arrive pas:

- Il faut montrer que F(x)/x=f(c)
Donc que (G(2x)-G(x) )/x = G'(c) ( ce qui fait allusion au théorèmes des accroissements finis )
Mais notre but est de trouver un c appartenant à )0,x( et non à )x, 2x( tel que F(x)/x=f(c) , donc ce n'est pas la fonction à utiliser.

- J'ai ensuite considéré la fonction H Définie sur (0,x) par h(t) = xF(t)-tF(x)
on H'(t) = xF'(t) -F(x)

et on a h(x) =0
h(0)=0
En appliquant le théorème de Rolle , on trouve qu'il existe une appartenant à )0,x( tel que : H'(c) = 0 <--> F(x)/x = F'(c)
F'(c) = (G(2c) - G(c) )' = 2G'(2c) - G'(c) , ce qui ne m'amene à rien .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5e6727f3]

Oui , je suis sûr et certain de l'énoncé .

[gg0]

Il y a bien un c tel que F(x) /x = f(c), mais il est strictement supérieur à x.

Prenons par exemple x=1/2. On prend pour G la primitive nulle en 0

On trouve

mais

et donc, sur [0,x]=[0;0,5], f décroît de 1 à 0,927 environ, et ne prend pas de valeur proche de 0,858. c n'existe pas. par contre, un c de l'ordre de 0,75 convient.

Cordialement.

[invite5e6727f3]

Excusez moi, mais on n'a pas encore fait ce chapitre.

[gg0]

Quel chapitre ?

J'utilise les connaissances qui sont nécessaires pour faire ton exercice. Tout au plus, il y a la notation intégrale pour G, qui ne sert qu'à définir quelle fonction dont la dérivée est f est utilisée. Le reste est du calcul approché fait par logiciel.
Ton énoncé est faux !

[pi-r2]

le théorème de Rolle appliqué à G sur l'intervalle [x;2x].