Modèles non standard de l'arithmétique

[invite57306341]

Bonjour,

J'ai un exercice à faire et je ne sais pas par où commencer. Le voici :

Soit L_0 = {=, + ,·, S, 0} le langage de l’arithmétique de Peano. Soit M un modèle non
standard des axiomes de Peano, soit φ(x) une formule du langage L_0.
Supposons que M |= φ[x → n], pour tout n ∈ N.
Montrez qu’il existe c ∈ M qui est infini tel que M |= φ[x → c].

Jusqu'à maintenant, tout ce que j'arrive à dire est que le modèle contient un élément non standard (car c'est un modèle non standard) et je sais également que les éléments non standard sont plus grand que tous les éléments standard (les éléments dans N) car N est un segment initial de tout modèle non standard. Donc mon modèle contient des éléments infini. Mais je n'arrive pas à montrer qu'il y a un de ses élément qui satisfait φ dans le modèle M.

Merci d'avance,
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[invite8133ced9]

Bonjour,

Le schéma d'axiomes de récurrence de l'arithmétique de Peano est équivalent à ce que tout sous ensemble définissable non vide admette un plus petit élément.

Pour le sens direct qui compte ici:
Si est définissable non vide et n'admet pas de minimum, alors , et pour (sinon serait le minimum de ), donc est vide: contradiction. On a utilisé l'instance du schéma d'axiomes de récurrences où la formule est où est une définition de .

Tu peux utiliser ceci pour répondre à ta question.

[Médiat]

Bonjour,

Il suffit de montrer que M vérifie : , ou qu'il existe un c non standard vérifiant .

[Médiat]

J'ajoute un mot important : ce théorème démontre que IN n'est pas définissable dans les modèles non standard

[A voir en vidéo sur Futura]