Question très basique sur la manipulation des tenseurs

[invite8f6d0dd4]

Salut à tous.

J'aurai besoin de votre aide sur la manipulation des tenseurs (ma question est technique, je cherche pas à comprendre la théorie derrière).

Prenons un tenseur de rang 2, une matrice dans mon cas (donc 1 fois covariant et 1 fois contravariant).



J'ai mis une * car agit dans l'espace des formes linéaires, c'est bien correct ?

Du coup mettons que je cherche à calculer le vecteur MX où X est un vecteur de R^3

Avec la notation tensorielle, pour comprendre en gros on a :
(ce e_k est du même type que e_j, il s'agit d'un vecteur de base de mon espace de vecteurs)


D'un point de vue matriciel je sais que la i ieme ligne de mon vecteur MX s'écrira comme ci dessous :



Mais comment retrouver ça avec la logique des tenseurs ?
En gros mon problème c'est que je sais que mon tenseur représenté ici mange un vecteur et un covecteur pour renvoyer un nombre, mais dans la pratique comment j'écrit formellement son application sur un vecteur ?
Car dès qu'on a des tenseurs d'ordre > 2 je sais pas comment les appliquer sur des produits tensoriels de vecteurs.

Pourriez vous m'aider ?

Merci !!
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[invite47ecce17]

Bonjour,
Tu as un accouplement (une forme bilinéaire) naturel VxV*->k, donné par (a,v) s'envoie a(v), qui se factorise par le produit tensoriel. L'action naturelle de End(V) n'est rien d'autre que cet accouplement, en utilisant l'associativité du produit tensoriel, tu as donc (tous les isomorphismes etant naturels) la fleche est donnée par u\otimes f\otimes v s'envoie sur f(v).u ce qui redonne l'action naturelle d'une matrice ecrite comme la somme des m_ij fois e_i\otimes e_j^*, comme Mv= sum m_ij v_j e_i

[invite8f6d0dd4]

Salut.

Ok merci.

Je te répond dès que j'ai fini ma semaine de partiels.

Merci beaucoup en tout cas.

[invitec998f71d]

Prenons un tenseur de rang 2, une matrice dans mon cas (donc 1 fois covariant et 1 fois contravariant).

Comme l'avait écrit MiPaMa une matrice n'est pas un tenseur. Une matrice est bete tableau et n'est ni contravariant ni covariant
J'avais signalé le piege dans lequel j'étais tombé également. On voit bien que c'est insidieux puisqie MiPaMa ne releve meme plus!
Je serais curieux de savoir le pourcentage de ceux qui répondraient oui à la question les matrices sont elles des tenseurs? plus de 90%?

[A voir en vidéo sur Futura]