Suite extraite de sin(n) qui converge ?

[Pouknouki]

Bonsoir à tous

Je suis en MPSI et je viens d'apprendre que selon le théorème de Bolzano Weierstrass, toute suite bornée admet une sous-suite convergente. Du coup je me suis dit, "c'est bien gentil, mais quelle suite extraite de sin(n) pourrait bien converger ?".

J'ai trouvé cette réponse assez complète sur StackExchange, mais il y a quelque chose que je ne comprends pas.

En gros, le mec dit que tout simplement, on a notre extraction f(n) qui est de la forme f(n)=p*n, avec p qui tend vers pi (et du coup, sin(p*n) tend vers 0, c'est bon). Mais ce que m'a dit mon prof de maths, c'est qu'il faut que le résultat de f(n) soit bien un entier (ce qui me semble logique, puisque autrement ce n'est plus une application de N dans R mais bien une application de R dans R...)

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci beaucoup
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[invite332de63a]

Bonjour.

Par exemple, tu cherches une sous-suite qui converge vers . Soit tel que . Commençons notre sous-suite avec (au cas où que le reste n'aurait pas fonctionné avec ). On notera la mesure de ramenée entre .

Alors, connaissant pour un donné la valeur de , on peut définir par . L'ensemble est non vide (un argument pas si compliqué comme quoi (le plus petit groupe contenant et le nombre ) est dense dans doit permettre de le conclure) donc admet un minimum.

Si jamais tu as besoin d'autres explications n'hésite pas à demander. Si jamais j'ai fais une erreur, n'hésite pas à me la préciser.

RoBeRTo