Algèbre limite en l'infini de matrice diagonalisable/inversible

[invite84fd0d75]

Bonjour à toutes et à tous, je suis actuellement en L2 de Physique/Maths. J'ai une dizaine de questions à préparer pour ce Lundi. Je suis vraiment mauvais en algèbre, je galère un peu sur tous. Cependant, sur les 10 questions, il y en a vraiment 2 sur lesquelles je bloque. J'ai entendu dire que c'était presque de la topologie, cependant j'en ai jamais fait. Je suis complètement perdu, et ce que vous pouvez m’aiguiller vers la résolution de ces deux questions ?
Ce sont les deux dernières de la photo.

J'ai mit la photo en pièce jointe et sur google drive pour vous faciliter la tacher : *** sur serveur externe ***
Je suis même pas sur d'avoir bien compris, si vous pouvez me confirmer : En gros, c'est une suite de matrice, où An est définie par une matrice carré nxn. Et quand je fais tendre n vers l'infini je tends vers une matrice A de taille nxn qui est inversible (1) ou diagonalisable (2).

Je n'ai jamais vu de suite de matrice, et je vois même pas comment définir une suite de matrice dont la taille de la matrice dépendrait de n. Bref, si vous pouvez m'aiguiller, ça serait sympa
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[invite23cdddab]

Je pense qu'il s'agit d'une énorme coquille : le n de A_n n'est pas le même n que celui de M_n(C). Dit autrement,

Il existe une suite de matrices inversibles de qui converge vers A

Ou encore, les matrices inversibles sont denses dans l'espace des matrices.

Et c'est complètement une question de topologie. C'est très classique

Pour la première, on peut le faire en démontrant que si n'est pas une valeur propre, alors est inversible.

Pour la seconde, on peut se servir du fait que toute matrice de M_n(C) est trigonalisable. On va donc montrer d'abord le résultat sur les matrices triangulaires , en se rappellant que si le polynôme caractéristique est scindé à racines simples, alors la matrice est diagonalisable