Bonjour,
Est-ce qu'on connaît un bon encadrement d'un coefficient binomial
où f et g sont deux fonctions à deux variables sans factorielle, avec des exponentielles et des polynômes par exemple, telles qu'elles sont plus facilement manipulables ?
Merci
http://mathworld.wolfram.com/Stirlin...oximation.html
Regarde ligne 26 tu as un encadrement de n! (pour des grandes valeurs de n je pense)
A partir de là tu peux encadrer facilement k parmi n (par exemple pour la borne sup tu prends la borne sup de n! divisé par la borne inf de k! et (n-k)!
T'as peut être des formule plus précises après!
Merci j'ai aussi trouvé ceci http://mathworld.wolfram.com/BinomialCoefficient.html (19) plus récent donc peut-être mieux.
J'ai testé les deux encadrements et j'ai trouvé quelque chose d'aberrant : ()
Avec ta méthode, les bornes sont 251,97 et 252,1 et avec la mienne 51,2 et 1024 !!!! Pourquoi a-t-on démontré quelque chose de si déficient en 2005 !?
j'avoue ne pas trop comprendre, la formule de stirling ne te conviens t-elle pas ? Pourquoi un encadrement? J'avoue être curieux.
De façon personnel pour moi j'utilise soit la formule de stirling soit la fonction Gamma.
J'étais simplement étonné : on m'a donné deux encadrements possibles d'un coefficient binomial et le plus récent des deux semble nettement mois efficace.
Pourquoi un encadrement ? Je veux montrer qu'une somme infinie contenant un coefficient binomial converge vers 1 et un encadrement pourrait m'être utile. J'avoue ne pas être à l'aise avec la formule de stirling "de base" qui fournit un équivalent en l'infini car je ne pourrais pas utiliser le théorème de comparaison.
Effectivement un encadrement peut être sympa mais alors il faut qu'il soit très fin, mais le prix à payer... et bien plus tu veux un "bon" encadrement ( dans ton cas une simple majoration devrait suffire si la série est à terme positif ) plus la formule va être complexe. Même un encadrement fin, ne te garantit pas que tu puisses démontrer que ta série tende vers 1 ( ca même de bonne chance de rater ). D'une façon générale je dirais plutôt 1) montrer que ta série converge 2) ( beaucoup plus ardu a priori ) calculer la valeur.
Pour le 2) plusieurs stratégies: reconnaître une série connue étant le mieux ( ou une dérivée/primitive/sommes d'une ou plusieurs séries entières évaluées en des points bien choisis )
Dans ton cas j'essaierais tout de même de faire apparaître un binôme de newton même de façon un peu artificielle. Après tu peux peut être aussi montrer la tête de la bête, pour que l'on se donne une idée de la somme à calculer.
Merci beaucoup pour tes réponses. Je vais encore travailler dessus et je la posterai en dernier recours. Je veux y arriver à peu près tout seul.
J'ai déjà montré qu'elle converge.
Oki bonne chance alors !!!
Bon voilà j'ai fini mes calculs avec l'encadrement de stirling et ça ne marche pas (l'autre encadrement non plus d'ailleurs). D'ailleurs c'est un < strict que j'ai utilisé donc c'est peut-être logique que je n'y arrive pas ... ? Je pense qu'il faut utiliser les séries.
Bon je lâche le morceau :
Fort sympathique cette petite somme, n'aurais tu pas calculé dans les questions précédentes une somme du genre :
Non, il n'y avait pas de question précédente. Mais il y a quelque jours, j'avais déjà été confronté à cette somme en essayant de résoudre cet exercice. J'avais lu quelque part que
J'ai retrouvé ma feuille de brouillon : si je trouve cette somme
je résous le problème (en utilisant des sommes/dérivées, etc de séries)
Si possible, si vous connaissez cette somme, fournissez-moi des indices pas trop utiles (mais utiles quand même !).Envoyé par Gandhi33
J'ai retrouvé ma feuille de brouillon : si je trouve cette somme
je résous le problème (en utilisant des sommes/dérivées, etc de séries)
Effectivement ce que je pensais, il faut passer par des series entières avec dérivées/primitives ( comme je l'ai déjà indiqué ), mais j'avoue que je pensais pour la série plutôt à
évaluée en 1/2 ce qui pose moins de problème ( ouf ! ) et qui me fait vaguement penser à la dérivée d'une fonction ... ( mais il reste des détails techniques à résoudre tout de même )
Bon, c'est un énorme indice mais merci beaucoup en tout cas. Je n'ai pas cette somme dans ma liste. Connaissez-vous un lien ?Effectivement ce que je pensais, il faut passer par des series entières avec dérivées/primitives ( comme je l'ai déjà indiqué ), mais j'avoue que je pensais pour la série plutôt à
évaluée en 1/2 ce qui pose moins de problème ( ouf ! ) et qui me fait vaguement penser à la dérivée d'une fonction ... ( mais il reste des détails techniques à résoudre tout de même )
Bah Stirling te donne un équivalent :
Donc
Qui est une série divergente.
Je suis perdu. Je suis un néophyte avec les équivalents. Le message d'avatar n'indiquait-il pas justement que la série était convergente ?
D'une facon général quand des coefficient binomiaux apparaissent dans une série je me garde toujours sous le coude:
je me réserve aussi la possibilité de remplacer x par x^2 ou -x^2 et remplacer egalement
tu paux aller regarder 2 ou 3 formules par ici:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Formul...e_enti%C3%A8re
indication :
Effectivement il faut que x se rapproche de 1 dans la serie entiere ce qui peut poser problème.
Il faut bien regarder ce qui est demandé la série initiale à calculer semble bien converger
J'ai vu le arcsin à deux kilomètres mais j'ai du mal avec le message de tryss. La somme du message 15 converge oui ou non?
j'ai un équivalent pour ta somme en 1/n^(3/2)...
Je crois que j'ai compris : on ne peut pas utiliser le arcsin pour ma même raison que le message 15 : division par 0. Et la somme du message 15 est divergente comme Tryss l'a démontré (avec une propriété sur les équivalents que je ne connaissais pas (en fais je ne connais presque rien sur les équivalents et ce qu'on est autorisé à faire avec)).
Pourtant l'énoncé de départ converge, je peux vous le garantir.
Un équivalent pour quelle somme ?
Bonne nuit on recommencera demain
Merci pour ton lien très fourni !
Ok, tu a eus cet équivalent par Stirling. Tu as fait ça pour montrer que ma somme initiale converge, c'est-ça ? Il n'est d'aucune autre utilité, c'est bien ça ?
Merci de prendre tout ce temps pour me répondre.
Oups j'ai bien sur oublier de diviser par 4^n.
Cet équivalent sert et sert uniquement à montrer la convergence, c'est bien ça avatar ?
