espace vectoriel et image d'un endomorphisme

[invite69d45bb4]

bonjour


soit E=[ f appartient à l'ensemble des fonction de R dans R de classe C-infini. pour tout x appartient à R f(x+ 2pi)=f(x). on definit pour tout f appartient à E tel que u('f)=f''

1- montrer que E est un R-espace vectoriel

2- montrer que u definit un endomorphisme de E

3-determiner le noyau et l'image de u

voici ce que j'ai fais

1-montrons que E est un sous espace de C_inf(R,R). l'application nulle est dans E donc E est non vide. soient (a,b) dans R^2 et (f,g) appartien à E. pour tout x de R
(af + bg)(x+2pi)=af(x+2pi) + bg(x+2pi)=af(x) + bg(x)=(af +bg)(x) E est stable par combinaisons lineaires.E est un sous espace de C_inf(R,R)

2-u est bien definie de E dans et u(af+bg)(af+ bg)''=af'' + bg''=au(f) + bu(g) cqfd

3-f app à ker u u(f)=0 entraine f''=0 donc f(x)=ax+b de plus a(x+ 2pi)+ b=0 entraine a2pi = 0 donc a =0 donc f est constante
soit f app à Im(u) alors il existe au moins g dans E tel que f=u(g)=g'' donc integrale entre 0 et 2pi de f(t)=integrale entre 0 et 2pi de g''= g'(2pi)-g'(0)=0 car g est 2pi periodique donc g' aussi donc Im(u) est f dans E tel que integrale entre 0 et 2pi de f=0


tout cela est il correct je débute en algebre lineaire


merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

A la question 2, il manque la vérification que u(f) est bien dans E quand f est dans E.
Pour le 3, ce que tu as écrit est bizarre : "de plus a(x+ 2pi)+ b=0 entraine a2pi = 0" ? j'imagine que tu as écrit autre chose sur ton brouillon.
Je ne comprends pas trop ce que tu fais pour Im u.

Cordialement.

[invite69d45bb4]

ben f est de classe c-infini et f'' est dans c-infini donc u(f) est bien definie

[invite69d45bb4]

et f'''(x+2pi)=f''(x)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ok,

si ces propriétés sont connues. la première est d'ailleurs évidente, mais justement, une preuve vite rédigée ne fait pas de mal. Pour la deuxième aussi, une justification sera utile. Pour toi.

En relisant le 3, je vois que tu as prouvé "si f est dans Im u, alors l'intégrale est nulle", mais pas la réciproque. Il reste à prouver que si l'intégrale est nulle, f est une image par u. D'un élément de u.

Cordialement.

[invite69d45bb4]

pour la reciproque k(x)=1/2pi x int 0 à 2pi de g et g barre=g-k donc int 0 à 2pi de g barre=0 définissons h de R dans R par h(x)=int 0 à x de g barre (t) h est une primitive de g barre donc est -infini comme int 0 à 2pi de g barre (t)=0 h(x+ 2pi)-h(x)=int x à x+2pi de g barre (t)= int 0 à 2pi de g barre =0 donc h est 2pi periodique et h est dans E or h''=g' barre=f donc u(h)=f donc f appartient à Im u

[gg0]

Désolé,

mais ton message #6 est incompréhensible. Si tu ne rédiges pas proprement, éventuellement en utilisant LaTeX, en séparant les phrases, en écrivant tout, je n'irai pas lire.