Limite d'une suite

[invite4038d92d]

Bonsoir,
nous avons eu un exercice de suite dans un controle dont j'aimerais connaitre la solution.
Nous avons que

et


On doit prouver que

J'ai d'abord prouve que la suite convergeait, en calculant a(n+1)/a(n) on obtient n/(n+1)*e^(1/(1+n)). En calculant ln(n/(n+1)*e^(1/(1+n))) j'obtient 1/(n+1)-ln(n+1)ln(n)
En utilisant cette comparaison:

On trouve que a(n+1)/a(n) est inferieur a 1 parce que ln(a(n+1)/a(n)) est negatif donc la suite a(n) est decroissante et minoree par 0 donc elle converge mais pour avoir un encadrement de la limite, c'est la cata!
Si quelqu'un pourrait m'aider ce serait genial et merci!!
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[invitedb5bdc8a]

tu l'as écrit juste au dessus non ? ln (a(n+1)/a(n))= ln (n/n+1) / (n+1)
en utilisant l'encadrement donné, 1 <ln (a(n)/a(n+1)<(n+1)/n --> 0< ln (a(n)/a(n+1)/e)<1/n et tu prend l'exponentielle de ça, qui comme elle est une fonction croissante conserve les signes.

[invite4038d92d]

Eh bien j'aurais bien aime avoir ln(a(n+1)/a(n))=1/(n+1)*ln(n/(n+1))
Mais malheureusement si je ne me trompe pas je devrais obtenir ceci pour ln(a(n+1)/a(n))


Ensuite en utilisant l'encadrement j'obtiens


Ce qui me permet de dire que a(n+1)/a(n) est inferieur a 1 et que la suite et decroissante et minoree par 0 et donc qu'elle converge. (pardon si je me reprends mais je me suis rendue compte que les calculs dans mon dernier message n'etaient pas clairs.)
Merci

[invite4038d92d]

Je pense que j'ai trouve un moyen d'encadrer la limite:

J'ai deduit l'etape 3 par encadrement geometrique de l'aire sous la courbe 1/x par des rectangles.
De la derniere etape on peutdeduire que la limite de a(n) a l'infini est comprise entre 1 et e, je suppose?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite26ea85d9]

ln(an) est est un classique de classe préparatoire, il y a plein d'exercices pour montrer que cette suite est comprise entre 0 et 1 et qu'elle converge vers un nombre appelé la constante d'Euler-Masheroni.