Bonjour,
Je dois étudier une système de bateau un moteur grâce à des équations différentiels. Seulement, j'ai l'impression qu'on se place dans un cas tellement simple qu'il n'y a rien à faire. Donc il dois surement y avoir un piège et j'ai du tomber dedans.
Est ce que quelqu'un pourrait jeter un oeil et m'éclairer svp ?
Voici l'énoncé (il est plutot long mais c'est beaucoup de blabla)
On considère un petit bateau a moteur evoluant sur la surface de l’eau. Sa position est représentée par son abscisse x et son ordonnée y. Il dispose d’un moteur à hélice générant une poussée dans l’axe longitudinal du véhicule. Des déflecteurs permettent d’orienter le bateau grâce à un couple permettant de faire tourner le bateau. On note F la norme de la force de poussée engendrée par l’hélice et par θ l’orientation du véhicule avec l'axe des abscisses.
Les forces de frottements selon l’axe des x (respectivement le long de l’axe des y) de la coque du bateau sur l’eau sont Frotx = −b v (respectivement sur y Froty = −b' v) et les forces de résistance aérodynamique selon x Aerox = −c v ^2, (respectivement sur y Aeroy = −c' v^2).
Après une étude de modélisation, tenant compte des frottements et des forces de résistance aérodynamique, s’opposant au déplacement du bateau on veut déduire les équations différentielles décrivant les mouvements du bateau.
1) Montrer que le système est représenté par les équations suivantes
x\ Ma + bv+ cv^2 = Fcos(θ)
y\ Ma + bv + cv^2 = Fsin(θ)
Cela ne pose pas de problème, il suffit de faire le PFD, on pose somme des forces égale Ma et c'est trivial
On peut considérer le système comme la mise en cascade de deux blocs : un premier bloc pour la dynamique du bateau soumis à la force de poussée avec une orientation déterminée; puis un second bloc, qui produit la force et le changement d’orientation du bateau, pour la commande des actionneurs qui produiront cette force de poussée et l’angle de direction. Les paramètre α0 et α1 sont des constantes positives modélisant les effets de mise en route du moteur et de l’hélice. Les commandes u1 et u2 permettent de générer la force de poussée et l’angle de direction (accélérateur et volant). Elles sont définies par les équations dynamiques suivantes :
dF + α0F + α1F^2 = u1
dθ + βθ = u2
Pour simplifier l’étude, on supposera α1 = 0 et les vitesses suffisamment faibles pour négliger les forces aérodynamiques et on pourra éventuellement supposer que l’angle θ reste toujours petit.
2) Quel est l’ordre du système et combien d’états le système comporte-il ?
C'est la que ca devient un peu plus compliqué, pour l'ordre du système, si je compte bien on a 10 variables (accélération sur x et y, vitesse sur x et y, θ, dθ, F, dF, u1 et u2). Donc on a un système d'ordre 10.
Pour le nombre d'états du système .... je n'ai pas très bien compris ce que je cherchais
3) On souhaite que le glisseur suive la trajectoire de référence suivante (par rapport au repère absolu) : xr(t) = 1 et yr(t) = L.t avec L une constante positive.
Quelle sont alors les vitesses et accélérations de références en x et y pour le bateau.
On connait les équations de déplacement, donc la vitesse et l'accélération sur x valent 0 (car dérivé d'une constante vaut 0).
La vitesse sur y vaut L et son accélération vaut 0.
3) Déterminez les valeurs des trajectoires de référence θr(t), Fr(t) correspondantes.
Vue que xr(t) = 1, et yr(t) = L.t, ca signifie que la trajectoire du bateau est une droite, et puisque L>0 on en déduit que le bateau "monte". Donc θ = pi/2
Donc, cos(θ) = 0 et sin(θ) = 1
Donc sur x\ 0 = 0
Donc sur y\ 0 + b'L = F (puisque l'on néglige la force aéro comme les vitesses sont petites)
On obtient alors facilement Fr(t) = b'L
Pour θr(t), je pense qu'il suffit de dire que θr(t) = constante = pi /2
4) En déduire une loi de commande pour u1 et pour u2 qui permet d’obtenir une trajectoire qui suivra θr(t), Fr(t)
On a :
u1 = dF + α0F = dF + α0 *b'L
Et je dirai que dF = 0 mais ca me parait trop facile. Faut-il que je determine le alpha ?
On a aussi :
u2 = dθ + βθ = dθ + β(pi/2)
Et je dirai également que dθ = 0. Faut-il que je determine le beta ?
Merci beaucoup d'avance
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re bonjour