Les groupes multiplicatifs ((Z/15Z)x,.) et ((Z/16Z)x,.)

[invite4308cf33]

Bonjour,

J'ai un exercice d'arithmétique que j'ai du mal à faire...
Voici les questions :

1. Dessiner le graphe du treillis des sous-groupes additifs (Z/15Z,+) et (Z/16Z,+). Placer dans chacun de ces treillis les éléments en fonction du sous-groupe qu'ils engendrent.

2. Énumérer les éléments inversibles de l'anneau ((Z/15Z),+,.). Faire de même pour l'anneau ((Z/16Z),+,.).

3. Montrer que les deux groupes ((Z/15Z)x,.) et ((Z/16Z)x,.) sont isomorphes, en prenant soin au préalable d'en dessiner pour chacun le treillis correspondant des sous-groupes.

4. Placer sur chacun de ces treillis les éléments qui y figurent.

5. Déterminer les quotients de (Z/16Z)x par chacun de ses sous-groupes d'ordre 2.

Pour la question 1 j'ai réussi, je ne vais pas les reproduire mais les groupes additifs j'y arrive bien. On place les diviseurs de 15 sur le dessin (1, 3, 5 et 15) et de 16 (1, 2, 4, 8, 16).

Pour la question 2, j'ai répondu que les éléments inversibles pour l'anneau Z/15Z sont : 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14 et pour l'anneau Z/16Z, les éléments inversibles sont : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.

Et je sèche à partir de la question 3... Comment représenter les treillis de ces deux groupes et montrer qu'ils sont isomorphes ?
Je sais montrer que deux groupes Z/nZ sont isomorphes lorsqu'il sont additifs, mais dans ce cas-là je ne vois pas comment procéder...

Quelqu'un pour m'indiquer des pistes ?

Merci et bonne journée !
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[gg0]

Bonjour.

Les treillis se font de la même façon que pour les groupes additifs, le + étant remplacé par ., et une fois les deux treillis analogues construits, l'isomorphisme deviendra assez évident.

Cordialement.

[invite4308cf33]

Pour le groupe additif Z/15Z, j'ai mis en pièce jointe le treilli (j'espère que c'est lisible !). C'est assez simple puisque ce sont les diviseurs de 15...
Mais même en remplaçant + par . je ne vois pas comment procéder pour faire le treilli multiplicatif...

[Amanuensis]

Pour un groupe quelconque de petit cardinal (comme ici les deux groupes multiplicatifs), on peut procéder en trouvant tous les sous-groupes. Et la méthode la plus simple est de commencer par les sous-groupes cycliques, c'est à dire ceux qui peuvent être engendrés par un seul élément. Suffit, au pire, de tester tous les éléments.

Par exemple, pour Z/15Z*, .) quel est le sous-groupe engendré par 14?

(En plus, dans le cas d'espèce, ce sont des groupes commutatifs, ce qui simplifie...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

bonsoir, je ne peux pas aider, mais est-ce que quelqu'un peut m'expliquer la signification de la notation (Z/15Z)x ?

[Amanuensis]

C'est l'ensemble des inversibles de Z/15Z, à ce que je comprends de par le contexte. On le note plus couramment (Z/15Z)* il me semble, de même que R* est l'ensemble des réels inversibles.

[minushabens]

merci. Effectivement ça m'est revenu entretemps, on le note parfois avec un x en exposant.

[Médiat]

Bonjour,

C'est même la notation la plus courante pour les anneaux, l'étoile signifiant "différent de 0", ce qui permet de distinguer les deux cas.

[gg0]

Pour le groupe additif Z/15Z, j'ai mis en pièce jointe le treilli (j'espère que c'est lisible !). C'est assez simple puisque ce sont les diviseurs de 15...
Mais même en remplaçant + par . je ne vois pas comment procéder pour faire le treilli multiplicatif...

Perefectina,

ce n'est pas le treillis additif de Z/15Z que tu as écrit. Il n'y a pas 1+1=2. Ce n'est qu'un treillis multiplicatif (incomplet, il n'y a pas 3x3=9). Tu devrais revoir la notion.

Cordialement.