Espace vectoriel

[invite52487760]

Bonjour à tous,

Si est un espace vectoriel de dimension , quelle est la différence entre muni d'une base et muni d'un "frame" ou base "ordonnée" si on peut appeler ça ainsi ?

Les "frames" d'un espace vectoriel de dimension finie sont très utilisés dans le cadre des "Frame bundles", alors, je ne comprends pas pourquoi en théorie des fibrés, on n'utilise jamais les fibrés de "bases" si cette notion existe déjà, mais toujours que les "frames bundles" ou fibrés de bases "ordonnées" ?

Merci d'avance pour votre éclairage.
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[Universus]

Bonjour,

Une base (non ordonnée) est une classe d'équivalence de bases ordonnées sous l'action du groupe symétrique sur n éléments.

Les espaces de bases non ordonnées sont souvent plus compliqués d'un point de vue topologique et géométrique que les espaces de bases ordonnées, en raison du fait qu'il faut quotienter ce dernier par un groupe discret et non continu.

Par exemple, étant donné un espace vectoriel V de dimension n muni d'un produit scalaire, nous pouvons tenter d'identifier toutes les bases ordonnées orthonormées. La recette est simple : nous identifions tout d'abord une base ordonnée orthonormée, puis nous laissons agir le groupe de Lie dessus. L'espace des bases ordonnées orthonormées est un espace homogène, c'est-à-dire le quotient du groupe de Lie par le sous-groupe de Lie (fermé) stabilisateur de la base de départ. Les espaces homogènes obtenus comme quotient d'un groupe de Lie et d'un sous-groupe de Lie fermé sont toujours des variétés lisses et ont, en ce sens, toujours une structure relativement simple.

Si nous souhaitons étudier les bases non ordonnées orthonormales, il faut quotienter cet espace homogène par une relation d'équivalence. La topologie globale de l'espace résultant est très souvent bien compliquée.

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Par exemple, le cas de avec le produit scalaire usuel. Considérons le cas des bases orientées (positivement). La base de départ est la base canonique orientée et ordonné. L'espace homogène des bases orientées ordonnées orthonormées est isomorphe au quotient .

Remarque : en réfléchissant à la façon dont agit sur la base canonique, il est assez simple de voir que cet espace homogène est un fibré en cercles sur la 2-sphère (il s'agit en fait d'une 3-sphère).

Les permutations cycliques des éléments d'une base orientée (ordonnée) orthonormée donne une base (ordonnée) orthonormée de même orientation : en dimension 3, il y a trois permutations cycliques, donc il faut quotienter par une relation d'équivalence identifiant des triplets de bases ordonnées. Il n'est pas aisé de visualiser le résultat. J'ai l'impression qu'il s'agit encore d'une variété, mais je n'ai pas d'idée claire sur la topologie globale de cet espace.

[invite52487760]

Bonjour Universus :

Merci pour toutes ces précisions que tu nous a apporté, néanmoins, le principal truc que je cherche à comprendre, est par exemple, lorsqu'on considère le fibré tangent d'une variété ( une sphère par exemple ), alors, si on prend un "frame" de ce fibré qui est une famille continue de bases "ordonnées" d'après ce que je constate des cours que je survolent, alors, si on prend une fibre d'un point de cette sphère, qui est un espace vectoriel de la sphère en , alors, la base induite du "frame" dans cet espace vectoriel en est une base ordonnée, est ce que c'est exactement ça ? Parce que en algèbre linéaire, on n'a l'habitude de ne voir que des bases non ordonnées. Perso, je n'ai jamais travaillé avec des bases ordonnées. Pour moi, une base ordonnée, figure en abondance lorsqu'on évoque une algèbre de polynômes non commutative, où d'algèbre tensoriel d'espace vectoriel qui n'ont pas d'applications en mathématiques de tous les jours que font la plupart des étudiants ... ça n'a pas d'intêrets pour moi, cette notion là, alors, je ne comprends pas l'utilité de considerer des frame bundles lorsqu'on évoque le concept de G-structures. Pour moi, le cadre naturel de travailler dans un espace vectoriel, est l'utilisation des bases non ordonnées, on est plus libre ainsi. Où, peut être qu'il y'a un truc que je ne saisis pas dans cette histoire. Voilà, ma question est toute simple ... En géo. diff. Lorsqu'on parle de fibré de toute sorte, on est dans le monde de la commutation, ou peut être que ce genre de notions n'appartient pas à la geo. diff. mais à une pseudo- théorie de géo. diff. non commutatifs, ben, je ne sais pas si on fait référence à un truc qui ressemble à ça. C'est bizarre.

[invite52487760]

Salut à tous,

Je vais essayer de vous décrire ce que je n'arrive pas à saisir :

Si on considère une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension finies de bases respectives : et , munie de sa matrice correspondante : .

Ma question est de savoir si on permute deux colonnes de la matrice , est ce que les deux matrices obtenues représentent la même application ? Si la réponse est non, pourquoi ?

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite52487760]

C'est plus au moins ce que tu as expliqué au début Universus, je n'ai pas lu attentivement ce que vous avez rédigé. Je m'excuse.
Je n'arrive pas pourtant à comprendre pourquoi deux vecteurs de l'espace d'arrivée : commutent et leur additions sont égaux : , donc représente un même objet ( un même vecteur ), cependant, lorsqu'il s'agit d'applications linéaires, ce n'est pas le cas, on fait commuter deux colonnes d'une même matrice, mais on obtient pas la même application linéaire. c'est un truc obscure pour moi.

[Tryss2]

Représentent la même application dans quelle base? Quand on fait de l'algèbre linéaire classique, les bases sont toujours ordonnées. Que tu parles de en est la preuve.

ne représente pas la même application linéaire que celle représentée par Pour la première tandis que pour la seconde

[invite52487760]

Bravo à toi. J'ai compris. Merci beaucoup.