Bonjour,
Petite question rapide :
Prenons un morphisme de groupe injectif : montrer que les deux groupes ont le meme cardinal est il suffisant pour prouver la surjectivité (à mon avis oui) et donc que le morphisme est un isomorphisme ?
Merci de vos réponses
Bonjour,
Pourquoi, à votre avis, cela serait vrai ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
L'injectivité nous dit que f(x)=f(x') => x=x', autrement dit chaque élément de l'ensemble de départ admet une image différente, logiquement si le cardinal de l'ensemble de départ est k, que celui de l'arrivée est k et que chaque image est différente, c'est une surjection et donc une bijection.
Non ?
Non, ce raisonnement ne peut s'appliquer aux ensembles infinis.
Connaissez-vous la notion de produit direct de groupes ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Il suffit de considérer le groupe additif (Z,+) et l'un de ses sous-groupes non triviaux. Ils ont même cardinal mais le morphisme d'injection n'est pas surjectif.
@mediat
Dans mon cas il s'agit de groupes denombrables ( c'est vrai que j'ai oublié cette précision )
Non je ne connais pas cette notion
Ce n'est pas grave, je posais la question uniquement parce qu'à partir d'un groupe infini on peut construire systématiquement un groupe de même cardinal avec une injection naturelle qui n'est pas une bijection.
Le contrexemple proposé par minushabens va très bien
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
D'accord merci pour vos réponses !
