Recherche d'extrema (fonction à 2 variables)

[invitea5ac7469]

Bonjour,

Notre professeur nous a demandé de déterminer les extremas de la fonction suivante: f(x) = (x²+y²)*exp(x²-y²)
En calculant le gradient de la fonction, j'aboutit à:

grad f =0 equivaut à: 2x(x²+y²-1) exp(x²-y²) =0 et -2y(x²+y²-1) exp(x²-y²) = 0

Sauf erreur de ma part, l'ensemble des solutions est le cercle trigonométrique de rayon 1 + le point (0,0) soit une infinité de points critiques
J'ai essayé de calculé les dérivées secondes pour voir si je pouvais faire quelque chose avec (en utilisant rt-s²) mais les expressions sont horribles et je pense pas que ce soit la bonne méthode.
Si vous avez une idée je vous remercie d'avances pour vos réponses
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[theophrastusbombastus]

Bonsoir,
alors sauf erreur de ma part il y a un petit problème dans vos derivées partielles, un signe moins qui ne devrait pas etre la. En fait "passer par le gradient" est juste une manière détourner de faire apparaître le système suivant, pour la fonction :

donc en vous aidant un peu :

donc un système de deux équation a deux inconnus que l'on resout un peu avec les mains en posant par exemple on voit que doit valoir donc on obtiens les points et je vous laisse chercher les autres !
ensuite pour déterminer la nature de ces points connaissez vous la notion de "matrice Hessienne" ?

(alors je précise j'ai regardé ca a la va vite mais normalement l'idée est là... je repasserai plus tard avec une vraie "correction")

[invitea5ac7469]

Bonsoir,

Merci pour votre réponse, effectivement c'était une erreur de signe (j'avais pourtant refais les calculs avant de poster ).
Au final, il y a que 3 points possible, la première expressions impliquant x=0 on doit avoir y=-1, y=0 ou y=1
On a pas abordé la matrice Hessienne en cours, on utilise directement l'expression rt-s², ce qui revient à calculer le déterminant de la matrice Hessienne pour une fonction à 2 variables différenciable si je dis pas de bêtise.

Au final je trouve:

r(x,y) = d²f/dx² = 2exp(x²-y²) (2x⁴+(5+2y²)x²+y²+1)

t(x,y) = d²f/dy² = 2exp(x²-y²) (2y⁴+(2x²-5)y²+1-x²)

s(x,y) = d²f/dydx = d²f/dxdy = -4xy (x²+y²) exp(x²-y²)

Soit rt-s² (0,0) = r(0,0) t(0,0) - s²(0,0) = 4 et r(0,0)=2
rt-s² (0,1) = -16/e
rt-s² (0,-1) = -16/e

J'en ai déduit que (0,0) était un minimum et que (0,1) et (0,-1) était des point selle
N'hésitez pas à me dire si j'ai fais une erreur et encore merci de m'avoir répondu.

[theophrastusbombastus]

Re-Bonsoir,

nan mais les erreurs de signes ça arrivent tout le temps de toutes façons, il faut toujours qu'il y ait un moins qui traîne n'importe où ! (la L.E.M qu'on appelle ça dans le jargon)

Alors j'ai pas refait les calculs du coup mais (sauf erreur dans les vôtres) ça m'a l'air bien tout ça. Oui du coup le rt-s² c'est bien le jacobien (je ne connaissais pas). On a bien des points selles la où il est négatif et un extremum où il est positif (apres minimum ca implique que r+t est positif donc je vous fais confiance pour le résultat !)
Donc dans l'ensemble ça a l'air juste, la méthode est comprise c'est le principal ! De rien pour la réponse et bonne chance pour les études du coup !

[A voir en vidéo sur Futura]