Extrema fonction deux variables

[invite5ffffaa4]

Bonjour,

Quelques pourrait t'il me donner des éléments de réponses:

J'aimerais trouver les extrema locaux, globaux, de la fonction suivante:



J'ai calculer les premières dérivées partielles, mais les expressions sont plutôt compliqué
donc pour calculer les dérivées seconde, ça devient la guerre sur ma feuille.

Dois je continuer à calculer mes dérivées secondes et matrice hessiennes etc, ou y a t'il un autre moyen plus astucieux?

Merci.
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[Universus]

Bonjour,

Il y a effectivement toute sorte de petites astuces que nous pouvons utiliser pour se guider, mais fort probablement aucune apte à résoudre tout le problème comme par magie. Je vais lancer quelques possibilités ici.

D'un point de vue de la notation, tu peux toujours écrire et afin d'obtenir . Ta feuille aura l'air un peu moins d'un champ de bataille en travaillant sur plutôt que sur , mais encore...

Supposons que nous voulions dériver une fonction , c'est-à-dire trouver son gradient . Nous pourrions remarquer que et en déduire que s'annule en un point donné seulement si ou s'annule.

Dans ton exemple, nous pouvons prendre (ou ). En prenant le carré, nous éliminons la racine carré dont les dérivées sont encombrantes ; il est donc possible que le gradient de s'analyse plus aisément que celui de . Aussi, les zéros de s'obtiennent facilement (notons que , à la différence de , n'est définie qu'à l'intérieur d'un disque de rayon unité) ; nous savons alors qu'il faudra y vérifier plus précisément si s'y annule.

Pour les dérivées secondes, continuant dans la même direction, il y aurait une manière «compacte» d'écrire les équations. Dans les circonstances néanmoins, peut-être vaut-il mieux s'en tenir à un calcul direct ou étudier davantage le comportement de la fonction de façon un peu moins quantitative.

Par exemple, nous remarquons facilement que est positive dans les quadrants 1 et 3 tandis qu'elle est négative dans les deux autres (en fait, est impaire sous les réflexions selon l'axe x et selon l'axe y). Cela indique que si nous savons ce qui se passe dans la quadrant 1, nous savons ce qui se passe dans tous les autres. Aussi, est une fonction paire sous les réflexions selon les droites et . Par ailleurs, nous pouvons comparer (dans un quadrant) la «croissance» de versus celle de . Bref, il y a de quoi faire dans l'analyse de cette fonction.

Cordialement

[taladris]

Salut,

pour completer la reponse d'Universus: la fonction est defini sur la partie du disque unite contenue dans le premier quadrant.

Vu la forme de la fonction, un passage en coordonnees polaires semble judicieux. On obtient . Le maximum est obtenu quand , ce qui te laisse une fonction d'une seule variable a etudier.

Alternativement, est continue sur un compact donc on sait que le maximum global existe. Pour le localiser, on peut d'abord chercher le maximum de sous la contrainte en utilisant Lagrange, puis comparer tous ces maximums pour trouver le maximum global.

Cordialement