Développements limités

[laurasdc]

Bonjour !

J'avais posté ici la dernière fois pour comprendre comment résoudre des exercices types sur les espaces vectoriels, et cela m'avait énormément aidée.
Cours à distance obligent, j'ai encore des soucis avec pas mal d'exercices, et je pense que la méthode utilisée pour les espaces vectoriels (apprendre par les exercices) est la plus efficace.

Toutefois, je bloque complètement pour mon devoir sur les développements limités ...

" Donner le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction
j : t --> ln (t + 1)
En déduire le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction
ln (2 + u)

Rappelez le développement limité à l'ordre 2 de e^x et en déduire ... (je ne mets pas la suite car c'est déjà pas mal)


Je ne cherche pas la réponse, cela n'aurait pas d'intérêt, mais j'aimerais vraiment comprendre le fonctionnement pour réussir mes partiels ...

Une âme charitable pour m'expliquer comment trouver un développement limité ? (pourquoi pas avec une fonction différente que celle de mon devoir!)
J'ai mon cours sous le nez mais honnêtement ca reste très flou sans exercices type, et à part une formule bizarre j'ai du mal à comprendre ce dont il s'agit ... et surtout, même en voyant la formule j'ai du mal à trouver comment transformer ma fonction en un polynôme ...!

Merci par avance !

Bonne soirée
-----

[laurasdc]

En fait, en appliquant bêtement la formule du cours je trouve bien ln (1+t) = T - (t^2/2) + t^2 (epsilon(t))
Mais comment en déduire la suite ...?
Les exercices types sont ils toujours du genre (appliquer bêtement la formule et déduire quelque chose ?)
Merci

[gg0]

Bonjour.

Apprendre par les exercices, c'est bien. Encore faut-il être capable de donner les réponses aux questions de cours qui sont posées dans les exercices.
Donc il faut absolument lire vraiment le cours, savoir ce qu'il y a dedans. En particulier, il y a des développements limités types, à savoir par coeur.

Bon, je te redis ce qu'est un développement limité :
L'idée est de réécrire une fonction, pour x proche de a, comme un polynôme en la variable (x-a) plus un reste qui tendra vite vers 0. Pourquoi x-a ? parce que c'est, au signe éventuel près, la distance entre x et a.
En remplaçant x-a par x (donc x par x+a), on se ramène à des DL pour x proche de 0, on dit "au voisinage de 0".

Donc on va écrire f(x)= a+bx+cx²+...+dx^n+reste
L'idée c'est que le reste doit tendre vers 0 plus vite que le x^n qui précède, pour qu'on puisse éventuellement le négliger dans certains calculs (limites, approximations, ..). On le prendra alors de la forme x^n fois une fonction qui tend vers 0 :
f(x)= a+bx+cx²+...+dx^n+e(x) x^n avec e(x) tend vers 0 en 0

Ensuite, pour trouver des développements limités, on peut utiliser la formule de Taylor (Mac Laurin) qui en donne des simples et classiques (sin(x), cos(x), exp(x), (1+x)^n, ln(1+x) ...) et aussi utiliser les DL classiques et les méthodes de calcul sur les DL.

Tu as tout ça expliqué et développé dans ton cours, tu ne pourras pas faire les exercices, ni même comprendre les réponses si tu ne prends pas le temps de lire ton cours.

Au travail !

NB : La première question est évidente, pour la deuxième, ln(2+u)=ln(2)+ ...

[laurasdc]

Merci pour cette réponse rapide !

J'ai lu le cours mais c'est tellement "théorique" que seule et sans prof c'est pas évident ...

Zut, je me suis donc trompé pour la suite. J'ai voulu poser t = u + 1, comme ca je me retrouvais avec une fonction type ln (1+t) = ln (2 + u) et du coup j'avais juste à réutiliser exactement la même formule en remplaçant t par "u + 1"
Je n'ai aps le droit de faire ca ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Non, car t+1 ne tend pas vers 0.

Autre chose : "Les exercices types sont ils toujours du genre (appliquer bêtement la formule et déduire quelque chose ?)" Pourquoi voudrais-tu que tous les exercices soient comme le premier que tu fais ???
Par contre, une preuve de maths est bien " du genre appliquer bêtement la formule (le théorème) et déduire quelque chose". D'où la nécessité de connaître les formules et théorèmes.

Quant au cours, bien sûr, il est théorique. Que voudrais-tu qu'il soit d'autre ? C'est des maths, et le cours traite des cas généraux.

[laurasdc]

Zut ... Bon je bloque un peu pour la suite. Je vais essayer de relire le cours et voir comment cela peut fonctionner et si je n'y arrive vraiment pas dans une heure je crierai au secours.

Je ne m'attends pas à ce que le cours soit autre chose que théorique, c'est un cours, je dis simplement que du coup comme je n'ai que ça, c'est difficile.
J'ai simplement eu l'habitude d'aller en classe, avec un prof qui explique et utilise directement des exercices d'application pour expliquer comment cela fonctionne etc.

Là, me retrouver seule face à toutes ces formules et ces calculs écrits à la suite, ce n'est pas évident ...

J'ai toujours été assez douée en maths mais, en général, c'était grâce au prof qui nous "testait", nous guidait pour que l'on commence à comprendre de manière intuitive ... Et j'ai d'ailleurs toujours paniquée en notant le cours et les formules écrites au tableau jusqu'a ce que l'on passe à l'étape "j'essaie de comprendre comment ca fonctionne et comment on s'en sert".

Je suis le genre d'élève qui comprend vite mais qui pose beaucoup de questions en cours pour comprendre les mécanismes et voir si mon intuition est bonne (et parfois elle ne l'est pas, et j'ai besoin d'être corrigée et qu'on me guide vers la bonne direction, comme pour le calcul plus haut où j'ai remplacé t par u + 1). Sans prof et sans exercices, je suis un peu perdue

[Tryss2]

Je donne l'astuce à employer ici : 2+t = 2(1+t/2), puis utiliser les propriétés du log pour "faire sortir" le 2 du log.

Ceci étant dit, je confirme ce que dit gg0 : bien connaitre son cours est indispensable pour faire des maths.

Pour faire une analogie, faire une preuve de maths, c'est aller d'un point A à un point B en empruntant des routes (et on n'a le droit de n'emprunter que des routes). Connaitre (vraiment) son cours, c'est savoir ou sont les routes. Ça ne garanti pas de trouver le chemin, mais au moins on reste sur des chemins autorisés. Quand on ne connait pas son cours, soit on reste bloqué parce que l'on a beaucoup moins de routes à disposition, soit on invente des routes et là c'est la catastrophe.

Ici, tu as inventé une route, tu as dit, "j'ai le DL de ln(1+t), donc j'ai le DL de ln(2+t) = ln(1+(1+t)) = ln(1+u)". Tu n'as pas fait attention que pour emprunter cette route, il fallait avoir t qui tende vers 0 Donc tu as fini dans le fossé. Bon, après avoir raté 2-3 fois le virage au même endroit ça fini par rentrer


Mais oui, faire des maths tout seul c'est pas évident

[laurasdc]

Oui, je reconnais que ma méthode est un peu nulle. J'ai toujours fonctionné à l'envers ... je fais, je me plante, je finis par capter et par retenir et du coup je finis par connaître mon cours, ou du moins j'apprends mon cours beaucoup plus facilement car je commence à comprendre ce que j'apprends et à me dire "ah bah oui tiens c'est là que je me trompais".
C'est surement une mauvaise manière de fonctionner. Ca a toujours très bien marché pour moi, mais aujourd'hui je ne suis plus dans le même environnement, du coup ....

[laurasdc]

Je donne l'astuce à employer ici : 2+t = 2(1+t/2), puis utiliser les propriétés du log pour "faire sortir" le 2 du log.

Ceci étant dit, je confirme ce que dit gg0 : bien connaitre son cours est indispensable pour faire des maths.

Pour faire une analogie, faire une preuve de maths, c'est aller d'un point A à un point B en empruntant des routes (et on n'a le droit de n'emprunter que des routes). Connaitre (vraiment) son cours, c'est savoir ou sont les routes. Ça ne garanti pas de trouver le chemin, mais au moins on reste sur des chemins autorisés. Quand on ne connait pas son cours, soit on reste bloqué parce que l'on a beaucoup moins de routes à disposition, soit on invente des routes et là c'est la catastrophe.

Ici, tu as inventé une route, tu as dit, "j'ai le DL de ln(1+t), donc j'ai le DL de ln(2+t) = ln(1+(1+t)) = ln(1+u)". Tu n'as pas fait attention que pour emprunter cette route, il fallait avoir t qui tende vers 0 Donc tu as fini dans le fossé. Bon, après avoir raté 2-3 fois le virage au même endroit ça fini par rentrer


Mais oui, faire des maths tout seul c'est pas évident

D'ailleurs, question peut-être bête, mais comment je sais si t tend vers 0 ?

Je regarde les 2 applications de mon cours, et dans un cas le prof fait tendre x vers 0 et en déduit que 2x tend vers 0 (logique), il peut donc résoudre l'exercice (qui utilise la formule (1 + x)^m). Dans le deuxième cas, il part de la formule du logarithme, dit que x tend vers un, et fait donc x = 1 + h avec h qui tend vers 0 puisque x tend vers 1. En soi, le raisonnement me parait logique. Mais pourquoi dans le premier cas j'ai x tend vers 0, et dans le deuxième x tend vers 1 ..? je suppose que la réponse est dans mon cours, mais je ne la trouve pas ... c'est ce genre de questions idiotes que je pouvais me permettre de poser en cours avec un prof et qui me faisait avancer bien plus vite !

[Tryss2]

Et puis tu aborde peut-être des maths plus complexes, ou les façons possibles de se tromper sont plus nombreuses.

Pour refaire une analogie, quand la pièce est petite c'est raisonnable de trouver la sortie en rentrant dans les murs, quand elle devient grande, ça commence à valoir le coup d'allumer la lumière

[Tryss2]

Mais pourquoi dans le premier cas j'ai x tend vers 0, et dans le deuxième x tend vers 1 ..?

Ca c'est les hypothèses de ton exercice :

Dans le premier cas c'est "trouver le DL de (1+x)^m en 0", donc par définition, x tend vers 0
Dans le second cas, c'est "trouver le DL de ln(x) en 1", donc par définition, x tend vers 1

[laurasdc]

Ca c'est les hypothèses de ton exercice :

Dans le premier cas c'est "trouver le DL de (1+x)^m en 0", donc par définition, x tend vers 0
Dans le second cas, c'est "trouver le DL de ln(x) en 1", donc par définition, x tend vers 1

En effet, c'était une question stupide ... En fait, je me suis embrouillée à force de voir écrit "au voisinage de 0" et du coup je suis partie du principe que x devait toujours tendre vers 0. Bon, je m'y mets sérieusement avec toutes ces infos et cette petite indication pour la deuxième question et je reviens vous en dire des nouvelles ...

Merci beaucoup !

[gg0]

Note que si x tend vers 1, x-1 tend vers 0
C'est pour cela qu'on étudie les DL au voisinage de 0, les autres s'y ramènent.

[laurasdc]

C'est encore moi ... Bon du coup, j'ai réussi à faire les deux applications de mon cours. De ce que j'ai compris, sans vouloir faire de généralités, si j'ai un x qui tend vers 0 il faut juste que je transforme l'expression de manière à trouver un DL connu mais en gardant x, et si j'ai x qui tend vers autre chose je fais une manip et pose x = quelque chose de manière à trouver un "quelque chose" qui tend vers 0 dans un DL

Pour la question posée plus haut, j'ai donc factorisé par 2, et comme u tend vers 0, u/2 tend vers 0 aussi ... J'utilise donc le développement limité en remplaçant x par u/2 et sans oublier de multiplier par 2 après.

En revanche, la prochaine question est :

"Prouver, pour tout x, que ln (1+e^x) = ln 2 + x/2 + x^2/8 + x^2 epsilon x (avec lim de epsilon x = 0 quand x tend vers 0)"

Deja, je ne comprends pas le "pour tout x". On ne peut utiliser les DL qu'au voisinage de 0, donc pas pour tout x mais pour x proche de 0 ... Hors, le epsilon à la fin me fait supposer qu'il faut utiliser un DL. Du coup, j'ai déjà du mal à comprendre ce "pour tout x".

Ensuite, j'ai essayé de résoudre ca en partant du DL de e^x, d'ajouter 1 au résultat pour avoir le DL de (e^x + 1) ... le problème c'est qu'après je n'arrive pas à passer au logarithme.
J'arrive à (e^x + 1) = 2 + x + x^2/2 + x^2 epsilon(x)

Et je bloque. J'ai essayé d'autres méthodes mais je bloque quand même ...

[Tryss2]

Pareil, met le 2 en facteur et pose u= (x + x^2/2 + x^2 epsilon(x))/2

[gg0]

C'est bien "pour tout x", car on peut écrire ceci pour toutes les valeurs possibles de x. Par contre, dans certains cas, ce sera seulement pour certains x, par exemple pour le DL de ln(1+x), il faut x>1.
par contre, le DL en 0 n'a d'intérêt effectif que si x est proche de 0. Par exemple le DL en 0 ln(1+x)=x+xe(x) avec e(x) qui tend vers 0 en 0 est vrai pour tout x>-1: e(0)=0 et pour . mais si x s'éloigne de 0, le xe(x) devient pas du tout négligeable, il est de même taille que x (pour x= 100, xe(x) vaut environ -95).

Sinon, tu es sur la bonne voie, c'est un peu la même idée que pour l'exercice précédent (chaque exercice aide à faire le suivant) : 1+exp(x) tend vers 2, donc il faut l'écrire 2( ... ) et sortir le 2 avec le ln. De ce fait, il te restera un terme qui tend vers 1, et un ln(1+a) avec a qui tend vers 0.

Bon travail !

[laurasdc]

Oups j'ai fait une bêtise, mon calcul plus haut est faux, j'aurai du ajouter ln2, pas multiplier par 2... Je recommence

[laurasdc]

C'est bien "pour tout x", car on peut écrire ceci pour toutes les valeurs possibles de x. Par contre, dans certains cas, ce sera seulement pour certains x, par exemple pour le DL de ln(1+x), il faut x>1.
par contre, le DL en 0 n'a d'intérêt effectif que si x est proche de 0. Par exemple le DL en 0 ln(1+x)=x+xe(x) avec e(x) qui tend vers 0 en 0 est vrai pour tout x>-1: e(0)=0 et pour . mais si x s'éloigne de 0, le xe(x) devient pas du tout négligeable, il est de même taille que x (pour x= 100, xe(x) vaut environ -95).

Sinon, tu es sur la bonne voie, c'est un peu la même idée que pour l'exercice précédent (chaque exercice aide à faire le suivant) : 1+exp(x) tend vers 2, donc il faut l'écrire 2( ... ) et sortir le 2 avec le ln. De ce fait, il te restera un terme qui tend vers 1, et un ln(1+a) avec a qui tend vers 0.

Bon travail !

Merci, je vais essayer ca !

[laurasdc]

Capture d’écran 2016-01-03 à 21.15.01.png
J'ai trouvé un exercice similaire dans les corrigés de mon cours (je voulais éviter car je savais que si je commençais à regarder j'allais tout copier et ne pas me débrouiller seule, mais bon), et je suis un peu perplexe par rapport au résultat. Je comprends tout le début, et c'est ce que j'ai réussi à faire plus haut grâce à vous.

Toutefois, lorsqu'il remplace u par sa formule avec x et fait le calcul, je n'arrive pas à trouver la même chose .. Qu'entend-il par "on ne garde que les termes de degré deux, les autres allant dans le reste?". Selon mon cours, le reste est le terme en epsilon donc ce n'est pas bien clair.

De plus, il y a bien des termes en x et x^2 et il ne prend pas en compte le carré dans la deuxième partie de la ligne de calcul ... (ici : Capture d’écran 2016-01-03 à 21.19.06.png) ... quand je fais le calcul je me retrouve avec des termes en x^3 et x^4 et plus rien en x^2

Bref, il y a quelque chose que je ne dois pas capter.

Sinon, de mon côté, j'ai tenté d'utiliser la même méthode pour passer à ln (1 + e^x) en posant ln (1+e^x) = ln (2 + u) (on revient donc au résultat précédent) et u = x + x^2/2 + x^2 epsilon (par rapport au résultat que j'avais trouvé pour 1+e^x), mais je ne sais pas si c'est juste car à la fin j'ai le bon résultat mais avec ln (1 + e^x) = ln 2 + u/2 etc... donc x d'un côté et u de l'autre ...

[gg0]

Si tu t'arrêtes aux x² dans ton DL, les puissances de x de degré plus élevé tendent vers 0 plus vite que x², donc font partie du x²e(x). pas la peine de les écrire, si tu peux t'en passer.

Pour ton u, c'est une fonction de x : si 1+exp(x)=2+u, u= ...

[Tryss2]

En fait dans les DL le epsilon peut être une fonction différente à chaque ligne . Ça ne choquera personne d'écrire que

(1+x+xe(x))² = 1+2x+xe(x)

Formellement, on devrait écrire

(1+x+xe(x))² = 1+2x+xe'(x) ou on a posé e'(x) = (2(1+x)+xe(x))e(x)

Mais comme (2(1+x)+xe(x))e(x) tend vers 0 et que c'est la seule chose qui nous intéresse, on garde le même nom d'une ligne à l'autre.

C'est une pratique qui se fait beaucoup en analyse avec les constantes. J'ai étudié des démos ou si on changeait de lettre à chaque fois que la constante n'est plus exactement la même, on aurait rapidement épuisé tout l'alphabet Mais pour faire ce tour de passe passe, il faut absolument que la valeur de la constante n'ai aucune importance.

[laurasdc]

Hello Tryss

J'avoue que sur ce coup là, j'ai du mal à suivre ...
Autant je comprends complètement l'idée (on peut ignorer quelque chose de négligeable etc.), autant je ne comprends toujours pas comment tu passes d'un truc de la forme (a + b+ c)^2 à la forme que tu trouves qui devient miraculeusement simple ...

D'autant plus qu'à un moment j'ai pensé à supprimer complètement le epsilon qui tend vers 0 pour me retrouver avec un (a+b)^2 (dans ton exemple du coup (1 + x)^2), mais je vois bien que c'est très peu précis et surtout complètement faux ...

Désolée, j'ai un peu de mal ! Il y a une étape qui doit sauter dans ma tête, probablement une histoire de factorisation que je n'arrive pas à voir car quand tu poses ton e', je n'arrive pas à le retrouver de mon côté.

[Tryss2]

Je reprends, car c'est vrai que c'est un peu délicat. Première étape, on développe :







On met de coté les termes de degré 1 ou moins, et on factorise par x le reste :



On vérifie que tend bien vers 0 , on obtient alors



Dernière étape, on renomme en

Après quand on a l'habitude, on ne développe pas tout, juste les termes qui ne seront pas dans le reste

[laurasdc]

Youpi j'ai enfin compris !


Merci beaucoup

Du coup deux petites dernières questions :


Dans l'exercice téléchargé plus haut, le prof dit qu'on peut s'arrêter aux termes de degré 2. Vous m'avez expliqué que c'est car les termes au dessus tendent plus vite vers 0. Dans ce cas, pourquoi prend-on en compte les termes en x^2 ? Pourquoi ne pas prendre que les termes en x puisque les termes en x^2 tendent eux aussi plus vite vers 0 ? Je crois que cette partie est encore un peu floue


Enfin, pour mon exercice de base, j'ai aussi un peu de mal à capter. Puis-je m'arrêter à ce que j'ai trouvé, c'est à dire :

ln (1+e^x) = ln 2 + u/2 - u^2/8 + u^2/4 epsilon (x) ?
Ou faut-il que je trouve exactement la même chose que dans l'énoncé, c'est à dire avec x à la place de u ?
Si j'ai bien compris, mon résultat est bon mais je suis ne suis pas sure d'avoir bien compris donc je voulais vérifier


Encore merci, encore un chapitre un peu plus "maîtrisé" (encore du boulot) désormais grâce à vous