Juste une précision sur la définition:
Sur wikipédia, on définit l'opérateur borné comme une application linéaire L entre deux espaces vectoriels normés X et Y telle que l'image de la boule unité de X est une partie bornée de Y.
Mais on a aussi la définition:
tel que
Pourquoi est-ce équivalent?
Il est clair que la première implique la seconde. L'autre implication vient du fait que L est linéaire :
Et, du coup, on peut donc définir l'opérateur borné en disant que l'image de la sphère unité est une partie bornée? En remplaçant "boule" par "sphère"?
NB: Tryss2, je me permets d'abuser un peu et de te demander ton avis sur la question que je posais dans "une proposition d'analyse fonctionnelle", ton idée me semblait intéressante mais elle soulevait une question, sans nécessairement fournir de réponse, peux-tu confirmer que cette question est fondée? Merci en tout cas pour tes explications!
Oui, toutes les propriétés d'un opérateur linéaire sont contenues dans la sphère unité. Pareil, on peut définir la norme d'un opérateur linéaire de trois façons équivalentes :
