Complétude espace des applications linéaires

[Deedee81]

Bonjour,

Un petit soucis dans la démonstration suivante.

Théorème

Soit L(E,F) l'espace vectoriel des applications linéaires continues entre deux espaces vectoriels normés E et F.
La norme sur L(E,F) est définie comme ||f|| = sup ||f(x)||
L’espace vectoriel normé L(E,F) est complet si et seulement si F est complet.

J'ai raisonné comme suit :

==>
Supposons que L(E,F) est complet. Cela signifie que toute suite de Cauchy converge vers une application linéaire continue g.
Considérons une suite de Cauchy dans F. Alors la suite de fonctions constantes est de même norme et donc aussi une suite de Cauchy.
Si converge vers g, c’est aussi une fonction constante et sa valeur est donc aussi la limite des . Par conséquent la suite converge et F est complet.
<==
Supposons que F est complet, alors toute suite de Cauchy converge dans F. Considérons une suite de Cauchy dans L(E,F).
Pour tout x dans E, on a par conséquent, la suite est une suite de Cauchy et elle converge vers un
élément de F. Donc la suite converge simplement vers la fonction g telle que .

MAIS là j'ai un soucis car la limite simple (ponctuelle) d'une suite de fonctions continues n'est pas nécessairement continue. Pour ça il faut que la convergence soit uniforme.

Donc, je suppose que :
la limite simple d’une suite de fonctions linéaires continues est continue.

Mais je ne vois pas trop pourquoi (ni même si cette remarque est correcte).
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[invite9dc7b526]

autre souci: l'application constante f(x)=e n'est pas en général une application linéaire (on a toujours f(0)=0 pour une application linéaire).

[invite23cdddab]

"la limite simple d’une suite de fonctions linéaires continues est continue"

1. une application linéaire est continue si et seulement si l'image de la boule unité est bornée
2. comme est de Cauchy, est bornée. En effet :
   
   Posons , il existe un tel que quelque soit . Mais
   
   
   
   Donc quelque soit x de norme 1, , ce qui entraine que
   
3. La limite simple f est alors bornée sur la boule unité :
   
   Soit x de norme 1, alors ce qui entraine par continuité de la norme que

f est donc continue

[pm42]

Donc, je suppose que :
la limite simple d’une suite de fonctions linéaires continues est continue.

Mais je ne vois pas trop pourquoi (ni même si cette remarque est correcte).

Comme ça, je dirais qu'une application linéaire continue est lipschitzienne et que quand une suite de fonction lipschitzienne converge, alors la convergence est uniforme.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23cdddab]

Ce n'est pas vrai :

Prend la suite de fonctions définie sur par

La suite converge simplement vers la fonction nulle, les sont Lipschitz, mais la convergence n'est pas uniforme.


C'est vrai si La constante de Lipschitz est bornée et que le domaine est borné

[Deedee81]

Merci beaucoup pour ces explications.

Aie, je n'avais pas fait attention pour les fonctions linéaires. Merci d'avoir signalé l'erreur. Ok, je vais corriger ce point, j'ai déjà une idée

[pm42]

C'est vrai si La constante de Lipschitz est bornée et que le domaine est borné

Merci pour la précision, je suis allé un peu vite en effet.