structure' algèbrique

[invite2c7e2526]

Bonjour s'il vous plaît qui pourriez m'aider à résoudre cet exercice? Je vous remercie d'avance!

Soit E=]-1,1[ , muni de l'opération x*y= (x+y)/(1+xy)
Vérifier que " * " est une opération interne et que (E, * ) est un groupe.
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[invitee91b9d97]

Re-salut, pour montrer que ta loi est interne dans E, il faut montrer que pour tout , .
Enfin, pour montrer que (E,*) est un groupe, il faut revenir à la définition de ce qu'est un groupe.

[invite2c7e2526]

voilà ce que j'ai pu faire pour la 1ère question:
pour tout x,y appartenant à E: -1<x<1 et -1<y<1 -2<x+y<2 ..............(1)
Si 0<x<1 et 0<y<1 on a 0<xy<1 et donc 1<xy+1<2 1/2<1/(xy+1)<1........(2)
(1) x (2)
-1<(x+y)/(xy+1)<2 ça n'appartient pas forcément à ]-1;1[ car 2<1 est fausse
Si -1<x<0 et -1<y<0 on a donc 1>xy>0 on revient alors au premier cas..
Dans les deux cas j'arrive pas à démontrer que (x+y)/(xy+1), aidez-moi svp je suis perdu

[invitee91b9d97]

Si tu n'y arrives pas par des moyens algébriques, tu peux toujours montrer que la fonction de paramètre et de variable , vérifie en étudiant ses variations.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2c7e2526]

fy(x) est elle la même que la valeur absolue de (x+y)/1+xy ? si c'est le cas je devrais donc calculer la dérivée sur deux intervalles ?

[invite2c7e2526]

Elle m'est difficile cette méthode, pourriez-vous me suggérer une autre qui est plus simple à facile, comme celle que j'ai écrite plus haut svp

[invitee91b9d97]

Mais non elle n'est pas difficile, ne t'inquiète pas : calcules la dérivée de en n'oubliant pas que est un paramètre donc se comporte comme une constante. Étudie ensuite le signe de pour en déduire la monotonie de sur .

[invite2c7e2526]

Encore une question concernant la deuxiéme réponse, Si (E, *) est un groupe ? Voilà ce que j'ai pu faire .


Pour montrer que c'est un groupe:
(*) est interne dans E
(*) est-elle associative ?
quelquesoit a,b,c appartenant à E (a*b)*c=[ (a+b)/(1+ab) + c]/[1+((a+b)c/(1+ab))]
Après avoir tout simplifier: (a*b)*c=(1+ab+ac+bc)/(1+ab)

a*(b*c)=[a+((b+c)/(1+bc))]/[1+(a(b+c))/(1+bc)] en developpant on obtient: a*(b*c)=(a+b+c+abc)/(1+bc+ab+ac)=(a*b)*c d'où (*) est associative..

(*) est commutative car: quelquesoit a,b appartenant à E: a*b=b*a
en effet : a*b= (a+b)/(1+ab)=(b+a)/(1+ba)=b*a

l'existence de l'element neutre:
quelquesoit x appartenant à E:
x*e=x et e*x=x
(*) est commutative donc on vérifie seulement la 1ère: x*e=x
x*e=(x+e)/(1+xe)=x donc e=0

le symétrique:
quelquesoit x appartenant à E:
x*x'=e et x*x'=e
(x' est le symétrique de x)
x*x'=(x+x')/(1+xx')=0 ça implique x+x'=0 et 1+xx'=/=0 on a donc x'=-x et xx'=/=-1
x'=-x et x'=/=-1/x comment dois-je continuer ici ? ou alors je devrais m'arrêter ici ?
on en conclut que (E,*) est un groupe

[invited65b13ff]

Bonsoir. Pour prouver que * est une lci . Le plus simple est de raisonner avec des carrés et prouver que (x*y)^2 < 1. Il y a alors une factorisation assez facile quand on se ramène à 1 - (x*y)^2 .



Sinon on peut aussi raisonner en terme de bijection avec la fonction tangente hyperbolique. Avec un changement de variable on reconnait th( a+ b )

[invite2c7e2526]

Merci beaucoup, je n'ai pas considéré avant y comme étant une constante c'est pour ça que j'avais du mal à la dériver..
Je reviens à la 1ère question:
fy(x) =
(x+y)/(1+xy) si (x+y)/(1+xy)>=0............(1er cas)
ou
-(x+y)/(1+xy) si (x+y)/(1+xy)<0......(2ème cas)

Dans le 1er cas:
f'y(x) = (1-y²)/(1+xy)²>0 (après simplification) donc f est stric croissante ]0,+infini et donc sur ]O,1[
Dans le deuxième cas:
f'y(x)=(y²-1)/(1+xy)<0 (après simplification) donc f est strict décroissante sur ]-infini,0[ et donc sur ]-1,0[
et comment vais-je répondre ici à la question de l'exercice ?

[invite2c7e2526]

Bonsoir Monotore, merci pour votre réponse, j'ai essayé d'élever au carré et c'est ce que j'obtients: (1+x²y²+-x²-y²)(1+x²y²+2xy)>0 et je ne sais pas comment continuer, pourriez-vous me donner un petite idée pour avancer?

[invitee91b9d97]

Je ne comprends pas pourquoi tu raisonnes comme ça :

a une expression donc on calcule à partir de l'expression de .
Après calculs, on trouve que :

Quel est le signe de ? Déduis-en alors le signe de . Que cela implique-t-il alors pour la monotonie de ?

(je te rappelle au passage que est définie sur , donc ne t'embête pas à considérer tout entier).

[invited65b13ff]

Déjà si tu montre que 1 - (x*y) ^2 > 0 pour tous les x et y de ton intervalles c'est gagné. Cela se traduit par ( 1+ xy) ^ 2 - ( x+y ) ^2 > 0 après une fois que l'on développe et que l'on simplifie ce qu'il y a à simplifier on peut factoriser et mettre cela sous la forme d'un produit de 2 nombres strictements positifs.

[invite2c7e2526]

Pourquoi a-t-elle une seule expression alors qu'elle est en valeur absolue ? et de plus compris entre 1 et -1 donc pas toujours positive sur cet intervalle ?
1-y²>0 puisque -1<y<1 fy(x) serait stric croissante et donc monotone sur ]-1,1[, mais que vais-je dire à propos sur l'opération interne ?

[PlaneteF]

Bonsoir,

Une autre façon très simple et très rapide de montrer que l'on a une l.c.i. est de remarquer que :

et

A partir de là, la conclusion est quasi-immédiate.

Cordialement

[invite2c7e2526]

@Motonore comment avez vous trouvé (1+xy)^2-(x+y ) ^2 > 0 ? d'où vient la soustraction ? Expliquez-moi svp les étapes que vous avez faites..

Bonsoir PlaneteF, j'ai pas compris ce qu'il faut faire au juste avec les deux équation ? svp aidez-moi je suis carrément perdu dans cet exercice.. :'(

[PlaneteF]

Bonsoir PlaneteF, j'ai pas compris ce qu'il faut faire au juste avec les deux équation ? svp aidez-moi je suis carrément perdu dans cet exercice.. :'(

Quel est le signe de ? ... de ? ... de ?

Conclusion.

Cdt

[invited65b13ff]

J'ai juste pris l'inequation 1 > (x*y) ^2

Qui donne 1 - [ (x+y)/(1+xy)] ^ 2 > 0 et en multipliant par ( 1+xy) ^2 on retombe sur ça.

[invite2c7e2526]

Merci beaucoup j'ai finalement pu la démontrer, 1+xy>0, et ainsi pour les deux autres, pourriez-vous vérifier ma réponse à la deuxième question concernant l'élément neutre et le symétrique svp, je vous remercie encore !

[PlaneteF]

Le magma est bien unifère (d'élément neutre ), et tous ses éléments admettent pour symétrique . Ce magma étant de surcroit associatif, c'est donc bien un groupe.

Cdt

[invite2c7e2526]

Merci beaucoup pour votre aide, et désolé d'avoir pris de votre temps pour moi, passez une bonne soirée.

[PlaneteF]

Bonjour,

Petite remarque : La méthode la plus directe et rapide pour traiter les 2 premières questions est celle évoquée par Motonore dans son message#9 en passant par les tangentes hyperboliques.

Compte tenu de la bijectivité et donc de la surjectivité de la fonction tangente hyperbolique, pour tout élément appartenant à , notons avec une "prime" un antécédent par cette fonction.

Il vient alors sur cet intervalle : , qui appartient bien à .


Pour l'associativité :


Cordialement