Primitives et arcsin

[invited5e782d8]

Bonjour,
Je suis un étudiant en 1ère année de MPSI, et j'ai besoin d'un petit coup de pouce pour quelques exercices de maths.

Tout d'abord, je dois trouver une primitive de x --> sur l'intervalle ouvert allant de 0 à 1.
Pour cela je passe à l'intégrale et au final je trouve x --> .
Il me semble, après vérifications que ce résultat est juste.
Cependant, j'ai un soucis au niveau de la rédaction, et ça provient probablement d'un préjugé sur la recherche de primitives par la technique de changement de variable.
Je m'explique : en passant à l'intégrale j'obtiens :
Pour continuer, je fais le changement de variable : .
Cependant comme t appartient à l'intervalle ouvert allant de 0 à 1, alors u aussi. En exprimant t en fonction de u j'obtiens : et c'est justement ces valeurs absolues mon problème. D'après l'intervalle de définition de u, je suis obligé de les mettre afin d'exprimer t en fonction de u pour continuer mon calcul.
Bon, comme ces valeurs absolues posent problème pour la dérivation, j'ai fais comme si elles n'existaient pas pour trouver mon résultat qui semble être correct .

Alors voilà, est-ce qu'il est vraiment important de se soucier de l'intervalle de définition de la nouvelle variable comme je l'ai fais ?
Une deuxième idée serait de dériver en tenant compte des valeurs absolues, mais je ne sais pas comment le faire (à moins de dériver lorsque u est positif, puis de dériver lorsqu'il est négatif).


Par ailleurs, j'ai un autre exercice qui me pose problème. Je le poste ici car il me semble que les questions sont liées (et qu'il faut peut-être utiliser le résultat précédent pour y répondre plus facilement).
Je dois simplifier : .
Ici, j'ai juste du mal à commencer. Je ne connais aucune formule type qui me permet de scinder les deux expressions et je ne sais donc pas comment avancer.

Merci pour vos conseils !
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[invited5e782d8]

Désolé du double post, j'ai peut-être trouvé une solution à mon premier problème.

Tout d'abord la fonction à intégrer est définie sur R privé de 0 et de 1. Donc t aussi.
Lorsque j'exprime u en fonction de t, u doit être compris dans l'intervalle -infini, 1/4 privé de -3/4. Ainsi, pour pouvoir chercher une primitive sur un intervalle, j'ai besoin de retreindre t à un intervalle qui coïncide avec l'intervalle de définition de u. Celui ci est l'intervalle ouvert allant de 0 à 1.

En faite, si mon dernier raisonnement est juste, j'avais pris le problème à l'envers.
Pouvez vous me confirmer mon idée ?
Par ailleurs, pouvez vous me rappeler pourquoi je dois forcément travailler sur un intervalle pour la recherche de primitives ? Il me semble que c'est pour permettre à la constante d'être identique sur tout l'intervalle. Cependant je ne vois pas quel est le problème que ça pourrait engendrer si je travaillais sur R* par exemple..?

[gg0]

Bonjour.

Que de questions !

Tout d'abord, je vais répondre à la dernière : Pourquoi travailler sur un intervalle ? Deux raisons, entre autres :
* si on travaille sur plusieurs intervalles, rien ne relie l'infinité des primitives d'un intervalle à l'autre; en particulier, connaître la valeur de la primitive pour une valeur de x ne la détermine pas.
* la formule ne donne une primitive de f que sur un intervalle contenant a et sur lequel f est définie
Cependant, tu peux noter qu'on écrit parfois des "primitives globales", comme par exemple ln(|x|)+ C pour 1/x. C'est pratique, mais dangereux, car si f'(x)=1/x, on ne peut pas écrire que f(x)=ln(|x|)+C, la constante pouvant être différente des deux côtés de 0.

Pour tes calculs, je n'ai pas le temps de les regarder de près, mais je te signale qu'un changement de variable classique est t=1/2-x qui te ramène directement à un arcsin.

Cordialement.

[invited5e782d8]

Merci pour votre première réponse.

Il y a quelque chose que je ne comprend pas à propos de ce que vous m'avez écrit : est-ce que ce sont les constantes, qui diffèrent d'un intervalle à l'autre, qui n'ont aucun lien entre elles, pour une même primitive définie sur une union d'intervalles ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ben ... pourquoi auraient-elles un lien ?

Quelle est la dérivée de la fonction définie par
f(x)=ln(|x|)-3 si x<0
f(x)=ln(|x|)+2,14 si x>0

[invited5e782d8]

Effectivement elles ont toutes deux la même dérivée : x --> 1/x.

En faite mon problème vient probablement du fait que je n'arrive pas bien à interpréter ce concept comme étant l'aire sous la courbe.
En reprenant votre exemples, cette fonction correspondent à quelle aire sous la courbe de la fonction x--> 1/x ?

[gg0]

Euh ..."toutes deux" ??

Il n'y a qu'une fonction

"... mon problème vient probablement du fait que je n'arrive pas bien à interpréter ce concept comme étant l'aire sous la courbe." Bof !! laisse tomber cette idée, qui est déjà fausse pour une fonction quelconque. Ce n'est qu'une façon de faire comprendre la notion d'intégrale, qui n'est pas la même notion que celle de primitive.

L'idée est qu'on construit une méthode qui donne, pour les fonctions simples (disons continues sur un intervalle I) une nouvelle fonction. Cette nouvelle fonction a pour dérivée la fonction dont on est parti. On obtient donc, à partir d'une fonction continue, une "primitive" sur I de cette fonction.

Ne pas mélanger avec la notion d'intégrale (même s'il y a des liens) : étant donnés un intervalle [a,b] et une fonction f définie sur [a,b], on va construire (si f le permet) un nombre, l'intégrale de f de a à b. Si f est positive sur [a,b], on définit l'aire située sous la courbe de f comme étant justement l'intégrale de f de a à b. On peut aussi définir l'intégrale de b à a, en changeant de signe.

Maintenant, il se trouve (on le prouve) que si f est continue sur [a,b] et donc si on a une primitive g de f sur [a,b], alors l'intégrale de f de a à b vaut exactement g(b)-g(a); l'intégrale de f de b à a vaut exactement g(a)-g(b).

Donc réserve l'idée de l'aire sous la courbe aux cas simples, à un appui de l'intuition, mais revois de près les moyens de calculs des intégrales, et les outils de calcul des primitives (essentiellement les règles de dérivation).

Cordialement.

[invited5e782d8]

Très bien. Je prend note de tes conseils.
Cette partie étant réglée, pourrait-on se lancer dans la suivante ?

Par ailleurs, j'ai un autre exercice qui me pose problème. Je le poste ici car il me semble que les questions sont liées (et qu'il faut peut-être utiliser le résultat précédent pour y répondre plus facilement).
Je dois simplifier : .
Ici, j'ai juste du mal à commencer. Je ne connais aucune formule type qui me permet de scinder les deux expressions et je ne sais donc pas comment avancer.

Merci pour vos conseils !

[gg0]

Peut-être simplement dériver et simplifier la dérivée (elle se simplifie radicalement).

[invited5e782d8]

L'idée est très bonne.
Merci pour tout et bonnes fêtes !

[invited5e782d8]

Bonjour.
J'ai une question très similaire à vous poser.

Je cherche une primitive sur R-* de .

Pour cela il faut s'aider des résultats suivants :
1. pour tout x appartenant à l'intervalle [0,1] :
2.Si u appartient à R privé de l'intervalle ouvert ]-1,1[ et theta appartient à R+ alors

Je patauge un peu. Pouvez vous me donner un coup de pouce ?

[gg0]

Bonjour.

Je ne sais pas si ça te servira, mais traditionnellement, on traite cette primitive par le changement de variable t=x-1/2. je te l'avais dit au message #3.

Cordialement.

[invited5e782d8]

Effectivement, je n'ai pas eu la clarté d'esprit de bidouiller un peu ce changement de variable donné au message #3.
Merci, ça m'a aidé.

[invited5e782d8]

Finalement en y réfléchissant de nouveau, un problème persiste : la primitive trouvée est : arcsin √x. Or je dois trouver une primitive sur R-*...

[gg0]

Non, la primitive trouvée n'est pas ça.
Effectivement, j'ai raté le fait que c'est x(x-1) et plus x(1-x). Donc la fonction est définie pour x<0 et pour x>1.
L'idée classique est alors la forme canonique, puis un changement de variable qui ramène à la dérivée de argsh.
Je ne vois pas trop le rapport avec la première indication que tu présentes, mais la deuxième tombe bien.

[invited5e782d8]

Effectivement votre indication m'a bien aidé, à ceci près qu'il fallait utiliser argcosh.
Merci bien !

[invited5e782d8]

Je vous joins mon travail.
En dérivant, j'ai un facteur 1/2 en trop. Ce facteur provient du changement de variable t = 1/2 u + 1/2. Il me semble que dt devient 1/2du.
Cordialement.

[gg0]

Bonjour.

Pourquoi en trop ? Mon esclave calculateur formel a bien ce 1/2.

[invited5e782d8]

Bonjour.

Effectivement ma vérification ne fut pas très bonne.
Merci bien !