Congruence et anneau quotient

[invite668fbabc]

Bonjour,

J'aurais besoin d'un peu d'aide pour les questions suivantes :

Question 1) Soit a un entier naturel impair, non congru à 5 modulo 10.
- Montrer que a est premier avec 100.
- Pour tout entier naturel n multiple de 40, en déduire le reste de la division euclidienne de aⁿ par 100.

Si a est impair, il peut s'écrire sous la forme a = 2n+1 avec n appartient à Z
Si n est pair, alors n = 2k
si n est impair, alors n = 2k+1

Après je ne vois pas comment faire...

Question 2)

on considère l’anneau quotient K = F₃[X]/(X³ + X² + 2).

Q1) Déterminer les racines dans K du polynôme Y² − α de K [Y]. On explicitera leurs coordonnées dans la base B.
Les racines sont +/- sqrt(α) ensuite je ne vois pas comment faire...

Q2) Quel est le plus petit entier naturel n tel que α² = (2α)ⁿ ?
De même, j'arrive pas à démarrer cette question.

Merci pour votre aide.
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[eudea-panjclinne]

Pour la question 1)
* a est impair et non congru à 5 modulo 10, quelle peut donc être la décomposition en facteurs premiers de a ?

* Se placer dans l'anneau des classes Z/100Z, la classe de x est inversible si et seulement si x est premier avec 100. Il y a Phi(100) éléments inversibles dans Z/100Z. Phi est l'indicatrice d'Euler. Or Phi(100)=40. Comme l'ensemble des éléments inversibles de Z/100Z est un groupe multiplicatif il est d'ordre 40, que peut donner x^40...

Pour la question 2) quel est ce B et ce α ?