séries entières

[theophrastusbombastus]

Bonjour,
on a attaqué les séries entières en TD (sans cours préalables mais bon...) donc j'ai fait les exos mais je voudrais confirmation et une aide pour le dernier. Voila l'exo et les réponses, il faut trouver le rayon de convergence :

1) on applique la règles d'Alembert et on trouve :

dont la limite lorsque n tend vers l'infini vaut 1, donc R=1/1=1 (R etant le rayon de convergence)

b) pareille avec d’Alembert on trouve un truc en on calcul la limite et on trouve R=1

c) ce coups ci j'applique la règles de Cauchy et je trouve que le rayon de convergence vaut l'infini

d) on reprend d'Alembert et on trouve que le rayon de convergence vaut l'infini

jusque la c'est n'importe quoi ou c'est bon ?

et la dernière :



j'ai pensé à appliquer d’Alembert et je me retrouve avec ca :

ce qui se simplifie en :
y a t-il moyen de simplifier encore cette expression ? j'ai l'impression de rater un truc... Et sinon comment faire pour etudier sa limite lorsque n tend vers plus l'infini ? J'ai pensé a Stirling mais bon, je trouve pas ça élégant, donc quoi faire ?

merci d'avance pour vos réponses et du temps que vous y consacrez !
-----

[Resartus]

Faux pour le c) : n! est équivalent à racine(2.pi.n).(n/e)^n (formule de stirling, justement) donc vous devriez trouver un rayon de convergence de seulement 1/e

Pour le e), on peut voir comment cela démarre pour les petites valeurs de k : k=1: 1, k=2 : 1/n+1, k=3 1/[(n+1)².(n+2)],
k=4 1/[n+1)^3.(n+2)².(n+3)
En majorant on voit que le denominateur est toujours plus petit que (n+k-1)^(k.(k-1)/2) ce qui permet de conclure

[gg0]

Bonjour.

Les critères de D'Alembert et Cauchy s'appliquent à des séries réelles positives. Donc il y aura à justifier tes conclusions en appliquant les règles.

Mais tu verras ça bientôt en cours.

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Pour la dernière, il me semble que la formule de Stirling fonctionne bien

[A voir en vidéo sur Futura]

[theophrastusbombastus]

Encore merci pour votre rapidité !

Alors pour la c) je suis un abruti j'ai directement appliquer cauchy avec une racine nième sans penser a l'appliquer au dénominateur ! Donc j'vais refaire ça vite et bien (ohh une contrepèterie accidentelle...) avec D’Alembert ca devrait marcher et la formule de Stirling !
Apres j'ai du mal a vous suivre pour le dernier ! En essayant des k successif on vois apparaître une logique dans les termes, est ce a partir de celle ci que vous avez trouvé votre majoration ? Enfin je n'ai pas encore essayer de magouiller avec, ca se trouve la réponse est évidente, merci de ces précisions.

Ahhh merci pour la précision, j'ai du glaner tout ça au fil de cour trouvé en ligne et je n'avais jamais lu cette condition. Du coup ici c'est assez évident, on ne travaille qu'avec des nombres naturelles et des constantes réels, il n'y a pas de termes bizarres qui ferait apparaître des signes négatifs... (vive la rigueur)

Bon dans ce cas je vais essayer avec la formule de Stirling

Merci pour vos reponses !

[theophrastusbombastus]

Re-bonjour !

Du coup pour la c) c'est bon j'ai bien trouvé 1/e finalement Stirling il est cool ! Mais je vais vous re-embêter avec l'autre !

On est d'accord qu'il faut trouver la limite de :



et deja pour k=2 j'ai un doute :



donc pas j'ai du me planter quelque part ou faire une operation non autorisé ?

En supposant que je ne me sois pas gouré (mais la j'serai le dernier a y mettre ma main a coupé) on se retrouve avec une expression general en fonction de k qui est :


et une idée subite viens de venir, peut etre la reponse... merci de jeter un oeil a ca en attendant

[gg0]

Ta simplification me paraît correcte, sauf que du départ tu as oublié le z. Cependant ça donne la voie vers la solution (avec deux cas particuliers).

Cordialement.

[theophrastusbombastus]

donc on a :
on factorise par n et la limite de n en l'infinis donne :


alors je m'emporte peut etre mais c'est juste ou c'est carrément n'importe quoi ?

[gg0]

Il faudrait peut-être revenir à l'origine de ton calcul. Tu calcules ça pourquoi ?

Et aussi ne pas oublier que tu n'as pas appliqué la règle de d'Alembert au terme général de la série ... Tu as oublié le z^n !!!

[theophrastusbombastus]

On veut trouver le rayon de convergence d'une série entière dont la suite a été donné ci dessus, en appliquant le critère d'Alembert a cette suite on trouve que le rayon de convergence vaut (si les calculs que j'ai mis son justes.)

Mais il faut mettre le dans le calcul ? cela ne "reviens pas simplement a dire" qu'il faut que pour que la serie converge ? (entre guillemets, puisque en rajoutant on retrouve ce résultat en faisant apparaître explicitement que le module de z doit etre inférieur a une "constante"... je vous prie de m'excuser pour cette explication "avec les mains")

[gg0]

Si tu t'y retrouve de cette façon ...

Mais ne pleure pas si tu fais des erreurs à la conclusion. D'ailleurs, tu n'as toujours pas donné de conclusion ... correcte : Pour k=0, ton calcul perd son sens.