Polynôme plus exponentielle

[Gilgamesh]

Bonjour à tous,

quelqu'un aurait il une bonne idée à me donner pour résoudre l'équation sur x suivante ?



avec b et c des constantes

Merci !
-----

[Gilgamesh]

note:
la valeur de c est fixée.
c = 1/2.

Il s'agit de la fonction dérivée (courbe verte) de la fonction suivante (courbe bleue) :.



Je cherche à trouver le minima de la fonction (pour les x positifs) en fonction de b.

[Deedee81]

Salut,

EDIT croisement

J'ai essayé un solveur mais sans succès.

Une résolution graphique est insuffisante ? As-tu besoin d'une solution analytique ?

[invite23cdddab]

En général ça se mélange très mal.

Ici je ferrai le changement de variable t=1/x, et l'équation se réécrit alors .

Mais à ma connaissance, ce genre d'équation (intersection entre un polynôme et une exponentielle) n'a pas de solution explicite

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gilgamesh]

Salut,

EDIT croisement

J'ai essayé un solveur mais sans succès.

Une résolution graphique est insuffisante ? As-tu besoin d'une solution analytique ?

C'est pour publier, ça serait quand même plus propre dans l'article

A défaut de solution exacte, je pourrais peut être tenter un développement limité...

[Médiat]

Bonjour,

A défaut de solution exacte, je pourrais peut être tenter un développement limité...

Au voisinage de quoi ?

Les seuls résultats simples que je vois sont les limites pour + et - l'infini et au voisinage de 0.

[Gilgamesh]

En général ça se mélange très mal.

Ici je ferrai le changement de variable t=1/x, et l'équation se réécrit alors .

Mais à ma connaissance, ce genre d'équation (intersection entre un polynôme et une exponentielle) n'a pas de solution explicite

Merci. Mais c'est bien un cube dans le 2e terme n'est ce pas ?
.

[Médiat]

Oui, c'est bien cela.

[Gilgamesh]

Bonjour,

Au voisinage de quoi ?

Les seuls résultats simples que je vois sont les limites pour + et - l'infini et au voisinage de 0.

Je pensais utiliser le développement limité :



mais je m’aperçois que ça met très longtemps à converger vers un nombre stable (genre au 20e terme)...

[Médiat]

Cela ne permet pas de résoudre l'équation, puisque déjà il faut avoir une idée de la solution pour savoir jusqu'à quel ordre il faut développer le DL pour espérer un résultat correct, et au delà de 4 (ce qui n'est pas beaucoup) on ne sait plus résoudre ces équations.

Est-ce que tu as une idée du domaine dans lequel évolue b (et x) ?

[Gilgamesh]

Bon, la convergence dépend de x, elle est d'autant plus lente que x est grand.

Avec le changement de variable, si j'ai x=2 et t=1/2 j'ai une convergence pour à 0,02% près au 4e terme.

Si je réduis assez l'intervalle d'étude, y'a peut être moyen...

edit: croisement
je regarde mes données et je te réponds

[Médiat]

J'ai l'impression que le résultat (en t) reste dans des bornes raisonnables quand b varie (ce qui serait une bonne nouvelle)

[Gilgamesh]

La valeur de x est comprise entre 1,48 et 1,73.
La valeur de b est comprise entre 0,52 et 0,78

Je fait le changement de variable u = -t = -1/x
D'où :



Le développement limité de l'exponentielle jusqu'à l'ordre 4 me donne :



Avec un solveur, en prenant une valeur médiane de b=0,6360 (et c=0,5), je trouve effectivement qu'une des 4 racines de l'équation est en bonne adéquation avec la valeur de x que j'ai déterminé très précisément par ailleurs en valeur approchée, à 0,2% près.

Donc ça fonctionne correctement, mais bon, ça veux dire sortir la grosse artillerie d'une équation du 4e degré à chaque fois et 0,2% près c'est juste 2 chiffres après la virgule, c'est pas Byzance.

[invite23cdddab]

Je ne comprends pas ce que tu cherches à faire.

Il me semble que le plus simple, c'est :
- De prouver qu'il y a bien une solution unique
- De dire qu'on ne peux pas l'expliciter à l'aide des fonctions usuelles
- De mettre une jolie courbe de x en fonction de c

Pour calculer la solution, la méthode de Newton me parait adaptée. Ça serra plus précis et plus rapide que ce que tu fais là

[Médiat]

Le développement limité de l'exponentielle jusqu'à l'ordre 4 me donne :

On peut aller jusqu'à l'ordre 5 et avoir une encore une équation pour laquelle il existe des méthodes exactes (bon à partir de données approchées)

[CM63]

Bonjour,

Autre méthode numérique : essaie peut-être Newton-Raphson. Si tu n'es pas dans le domaine de convergence quadratique, tu peux peut-être encadrer la solution.

A plus.

[Médiat]

En allant au degré 5 je trouve 1,61084458 (pour b=.636) alors que la réponse semble être plutôt 1.611

[Gilgamesh]

En allant au degré 5 je trouve 1,61084458 (pour b=.636) alors que la réponse semble être plutôt 1.611

Oui, c'est correct

J'ai commencé à voir ce que ça donne en degré 4 mais ça me semble d'une lourdeur considérable pour un gain assez modeste.

Je vais voir ce que ça donne avec les série de Taylor, comme suggéré.

Pour info

La valeur de b est dépendante d'un facteur r :


avec
k₁ = 0,6275
r est le seul paramètre variable pour envisager les différents scénarios à optimiser,

Et dans la première version de l'article la valeur optimale de x = k₃ est estimée par



et ça marche pas si mal...

[invite51d17075]

je pensais aussi à un algorithme simple à la Newton, une fois une valeur approchée estimée.
la "forme" de la courbe semble s'y prêter.

[invite23cdddab]

En allant au degré 5 je trouve 1,61084458 (pour b=.636) alors que la réponse semble être plutôt 1.611

Ce n'est pas étonnant d'avoir une telle erreur. La série entière convergeant assez lentement vers exp(x).

[CM63]

Bonjour,

je pensais aussi à un algorithme simple à la Newton, une fois une valeur approchée estimée.
la "forme" de la courbe semble s'y prêter.

Tout-à-fait. Il vaut toujours mieux penser à Newton-Raphson plutôt qu'aux développements polynomiaux, car la convergence est quadratique. Le tout est de trouver un intervalle [a,b] contenant la solution dans lequel la dérivée (ici f") est inférieure à 1 en valeur absolue. Ce qui revient à trouver a car ensuite f" est décroissante.

[invite51d17075]

oups, je viens de voir que tu l'avais suggéré avant.
Cordialement.