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Somme de factorielle



  1. #1
    jujudu59123

    Somme de factorielle


    ------

    Bonjour à tous,

    J'ai une question "simple" mais qui me perturbe l'esprit donc j'aimerais votre aide, pour que vous puissiez éclairer mes lanternes!

    La voici:

    La fonction sommeFac est définie de la manière suivante:
    sommeFact (159) = 1! + 5! + 9!
    cad la somme des factorielles de ses chiffres
    Jusque la tout va bien.

    Mais la question est:

    Comment calculeriez-vous tous les nombres tels que n = sommeFact(n) (on n'a pas besoin d'aller plus loin que 9 999 999: pouvez vous le prouver?)


    J'imagine que pour ca il faut utiliser le fait que |n| (le nombre de chiffre de n) = [log(10) n] (la partie entière inférieur) + 1


    Mais je ne voit pas comment m'y prendre.

    En espérant que quelqu'un pourra m'aider.

    Merci à vous! Belle journée

    -----

  2. #2
    Resartus

    Re : Somme de factorielle

    Un nombre de n chiffres vaut au moins 10^(n-1), et la somme des factorielles de ses chiffres ne peut pas dépasser n*9!

    La fonction 10^(n-1)/n/9! est croissante : pour le prouver on peut prendre le logarithme de la fonction : (x-1)ln(10)-ln(x) -ln(9!) dont la dérivée vaut ln(10)-1/x. Cette dérivée est positive pour x>1/ln(10)=0,43 or n>=1

    La fonction dépasse 1 dès que n est supérieur ou égal à 8 donc un nombre de 8 chiffres ou plus est toujours supérieur à la somme des factorielles de ses chiffres

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