Puissance n-ième d'une matrice

[invitecb82f686]

Bonjour,

Je suis face à un petit problème. J'ai la matrice , et je dois calculer . J'avais une question préliminaire pour essayer de montrer qu'il existe deux suites telles que .
Je pense avoir montré cette formule par récurrence, mais sans trouver la formule pour les deux suites. Ensuite je dois calculer .

J'ai fais :


Et les deux premières matrices, qu'on appelle respectivement :


sont la matrices nulles dès , en gros dès qu'on a : . Mais comment conclure ?
Car :


Mais ça m'avance pas trop, ça m'avancerait si jamais une seule matrice nilpotente avec , car je pourrais dans ce cas utiliser la formule du binôme...

Sinon j'ai essayé de trouver une formule pour a(n) et b(n), mais j'ai pas trouvé.

Si vous pouviez éclairer ma lanterne, je vous en serais reconnaissante !

Merci d'avance
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[invite57a1e779]

En réduisant M, on doit obtenir des choses intéressantes.

[leon1789]

Pour montrer facilement l'existence de a_n et b_n :
calculer M^2,
montrer que M^2 = a_2 M + b_2 I,
puis faire une récurrence sur n pour montrer que M^n = a_n M + b_n I pour tout n.

[leon1789]

Pour calculer M^n, on utilise la relation M^2 + M - 2 I = 0, autrement P(M) = 0 où P(X) = X^2+X-2 = (X+2)(X-1)

Première méthode : réduction de M, comme l'a proposé God's B, alors M^n = P . D^n . P^(-1)

Seconde méthode (je crois que c'est peut-être la méthode demandée, puisque l'énoncé évoque les coefficients a_n et b_n ) :
calculer le reste R(X) = a_n . X + b_n de la division euclidienne de X^n par (X+2)(X-1), alors M^n = R(M) = a_n . M + b_n . I

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Première méthode : réduction de M, comme l'a proposé God's B, alors M^n = P . D^n . P^(-1)

Non, c'est plus fin (la réduction, ce n'est pas uniquement et nécessairement le calcul des éléments propres) : la matrice est symétrique réelle, donc diagonalisable : le polynôme scindé dont les racines, simples sont exactement les valeurs propres est annulateur.

A vue : M+2I est de rang 1, donc -2 est valeur propre double. Reste à trouver une valeur propre simple a. Par la trace : a-2-2=-3, donc a= 1.

Le polynôme P(X)=(X+2)(X-1) est annulateur.

Par division euclidienne : Xⁿ=P(X)Q_n(X)+(a_nX+b_n) et, en évaluant en M : Mⁿ=a_nM+b_nI₃.

[leon1789]

Ok, donc c'est au final la seconde méthode que j'ai évoquée (avec calcul du reste de la division euclidienne), avec en préliminaire un bon raisonnement (très fin) évitant de dire que l'on voit simplement : M^2 + M - 2I = 0 (c'est la formule demandée pour n=2) , donc X^2+X-2 =(X+2)(X+1) est annulateur.
Reste à savoir quel est le niveau d'enseignement de KINDERMAXI...

[invite57a1e779]

Reste à savoir quel est le niveau d'enseignement de KINDERMAXI...

C'est bien le problème : il faudrait un énoncé complet, en particulier la question préliminaire sur l'existence des suites (a_n) et (b_n) pour voir quelle est la démarche proposée afin de s'y adapter correctement.
Sinon, les propositions (et la mienne en particulier, pensé-je) sont complètement à côté de la plaque.